Определение области определения для дробно-линейной зависимости — тематические карточки для 10 класса
Тематические карточки для 10 класса. Задача: найти область определения исходного дробно-линейного выражения и его близких рациональных форм, заметить незаполненную точку на графике. Для y=(ax+b)/(cx+d) с c≠0 запрещена ровно одна точка x=−d/c; если знаменатель постоянен и не равен нулю, доступны все действительные аргументы.
Нельзя сокращать общий множитель числителя и знаменателя, а затем объявлять исчезнувшую запрещённую точку допустимой. Упрощённая формула и исходное выражение совпадают только на исходной области определения. Обозначим ℝ множество действительных чисел.
Содержание статьи5 разделов
Таблица-навигация по типам знаменателей
| Что стоит в знаменателе | Как проверять | Пример |
|---|---|---|
| Линейное cx+d, c≠0 | Решить cx+d=0 и исключить результат | (x+2)/(x−5): x≠5 |
| Произведение двух линейных множителей | Исключить каждый действительный нуль | 1/((x−1)(x+3)): x≠1, −3 |
| Квадрат линейного множителя | Нуль тот же, даже если кратный | (x+1)/(x−2)²: x≠2 |
| Знаменатель, всегда положительный | Все x допустимы | 1/(x²+9): все x |
16 карточек: найдите область определения и объясните границу
Перепишите выражения и в каждом случае запишите исключённые аргументы или укажите ℝ. Для каждого выражения из строк 6–8 и 11–16 дополнительно решите, изменится ли область определения после сокращения (если оно возможно).
Карточка 1. y=(2x+3)/(x−4). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 2. y=(5x−1)/(3x+6). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 3. y=(7−x)/(2x−8). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 4. y=(x−6)/(12−4x). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 5. y=3/(x+5). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 6. y=(x−2)/(x−2). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 7. y=(x²−9)/(x−3). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 8. y=(x²−16)/(x²−8x+16). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 9. y=(4x+3)/(x²−1). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 10. y=(x+2)/(x²+x−6). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 11. y=(x²−4)/(x²−4). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 12. y=(2x+1)/(x²+4). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 13. y=(x²+1)/(x²−6x+9). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 14. y=(x+1)/(x²+2x+1). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 15. y=x/(x²+1). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Карточка 16. y=(x−2)/(x²−3x+2). Найдите D(y). Проверьте: что произойдёт при подстановке запрещённого x?
Ответы с доказательством ограничений
| № | Область определения | Проверка |
|---|---|---|
| 1 | x≠4 | Знаменатель x−4 обнуляется при x=4. |
| 2 | x≠−2 | 3x+6=0 при x=−2. |
| 3 | x≠4 | 2x−8=0 при x=4. |
| 4 | x≠3 | 12−4x=0 при x=3. |
| 5 | x≠−5 | Нельзя подставить x=−5. |
| 6 | x≠2 | После сокращения получается 1 только при x≠2. |
| 7 | x≠3 | Сокращение до x+3 не возвращает точку x=3. |
| 8 | x≠4 | Знаменатель (x−4)²: x=4 запрещён. |
| 9 | x≠−1 и x≠1 | Разложение: (x−1)(x+1). |
| 10 | x≠−3 и x≠2 | x²+x−6=(x+3)(x−2). |
| 11 | x≠−2 и x≠2 | Равная единице функция определена не во всех точках. |
| 12 | все действительные x | x²+4>0 при любом действительном x. |
| 13 | x≠3 | (x−3)² обращается в ноль при x=3. |
| 14 | x≠−1 | Знаменатель (x+1)²; точка x=−1 исключена. |
| 15 | все действительные x | x²+1≥1, нулей нет. |
| 16 | x≠1 и x≠2 | (x−1)(x−2)≠0 даже после сокращения. |
Поиск противоречий и важные исключения
В карточке 6 ученик сократил x−2 и получил 1. Это равенство верно на ℝ\{2}, но сама дробь при x=2 имеет вид 0/0 и не определена. Поэтому график — горизонтальная прямая y=1 с выколотой точкой (2;1). В карточке 7 график совпадает с прямой y=x+3 вне x=3, но точка (3;6) исключена. При этом в карточке 12 знаменатель всегда больше нуля и «лишнюю» точку искать не нужно.
В карточке 16 сокращение x−2 приводит к 1/(x−1), но точка x=2 остаётся запрещённой из исходной записи. В карточке 11 происходит то же самое с двумя точками x=−2 и x=2: упростив дробь до 1, нельзя добавлять их в область определения. Всегда выписывайте ограничения до алгебраических преобразований. Это ключевой навык для работы с рациональными зависимостями и их графиками.
Самопроверка: если знаменатель равен нулю, деление невозможно независимо от значения числителя. Если в знаменателе нет действительных нулей, область определения — вся числовая прямая. Точки разрыва после сокращения остаются выколотыми. Для дробно-линейной зависимости с ненулевым коэффициентом при x допустимы все значения, кроме одного найденного из линейного знаменателя.
Разбор четырёх карточек с особыми случаями
Карточка 8. Сначала раскладываем x²−8x+16=(x−4)² и числитель x²−16=(x−4)(x+4). При x≠4 выражение действительно равно (x+4)/(x−4). Но при x=4 исходный знаменатель равен нулю, и после сокращения точка не возвращается. Если ученику кажется, что одну степень множителя он убрал и поэтому ограничения исчезли, достаточно подставить x=4 в исходную дробь, чтобы увидеть невозможность деления.
Карточка 9. Знаменатель x²−1 разлагается как (x−1)(x+1). Он равен нулю при двух разных числах: 1 и −1. Иногда ошибочно решают только x²=1 и записывают x=1; это теряет отрицательный корень. Удобная проверка — подставить сначала 1, затем −1. Оба обращения знаменателя в нуль запрещают значение независимо от того, обращается ли числитель в нуль.
Карточка 10. Уравнение x²+x−6=0 имеет корни 2 и −3, потому что (x−2)(x+3)=0. Числитель x+2 не содержит ни одного из этих множителей. Условие допустимости остаётся x≠2 и x≠−3. Ученик не обязан вычислять значения дроби для каждого разрешённого x: чтобы определить область определения, достаточно проверить, где операция деления существует.
Карточка 14. Знаменатель x²+2x+1=(x+1)², числитель равен x+1. Сократив общий множитель, получим 1/(x+1), однако при x=−1 обе записи не имеют смысла. Кратность корня знаменателя влияет на форму графика около точки разрыва, но никак не влияет на само правило исключения значения из области определения.
Для проверки других ответов применяйте короткий алгоритм: скопируйте именно исходный знаменатель; решите равенство знаменателя нулю; перечислите исключённые действительные значения; убедитесь, что не вычеркнули точку из-за нуля числителя. Если запрещённые точки есть, записывайте D(y)=ℝ без этих точек. Для таблицы это важнее, чем формальное сокращение дробей или вид красивого графика.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.