Поиск множества значений для суммы графиков двух функций: самостоятельная работа, 10 класс

Самостоятельная работа, 10 класс. Требуется найти множество значений суммы графиков y=f(x)+g(x): складывают ординаты при одном и том же x, а не складывают минимумы функций и не объединяют их графики. Вначале пересеките области определения D(f)∩D(g), затем упростите сумму и установите, достигаются ли границы диапазона.

Например, f(x)=x² и g(x)=−2x+5. Тогда y=x²−2x+5=(x−1)²+4, поэтому E(y)=[4;+∞). Нельзя отдельно брать минимумы f и g: линейная функция g вообще не имеет минимума на ℝ. Диапазон суммы определяется всей полученной зависимостью.

Памятка для печати

• Складывайте значения при одинаковом x: это не сумма множеств значений.
• Перепишите область определения до сокращения одинаковых частей.
• У квадратичного выражения выделите полный квадрат и проверьте знак коэффициента.
• Для модулей найдите точки излома; для корней следите за допустимостью аргумента.

Вариант А — восемь самостоятельных заданий

1. f=x²; g=2x+3
2. f=−x²; g=4x−1
3. f=|x|; g=3
4. f=√x; g=4−√x
5. f=x²+1; g=−x²+2x
6. f=√(x−1); g=3−√(x−1)
7. f=x²; g=−6x+7
8. f=−2x²; g=−4x+1

Вариант Б — восемь задач с ловушками

9. f=|x−3|; g=|x+1|
10. f=√x; g=x
11. f=−x²; g=2x−6
12. f=x²+2x; g=−x²−2x+5
13. f=x²; g=−4x+4
14. f=3x²; g=6x−5
15. f=2|x|; g=−|x|+1
16. f=1/x; g=2−1/x

Подробный ключ учителя

1. [2; +∞). Сумма y=(x+1)²+2.
2. (−∞; 3]. y=−(x−2)²+3.
3. [3; +∞). y=|x|+3.
4. {4}. На общей области x≥0 сумма равна 4.
5. ℝ. После сложения y=2x+1.
6. {3}. x≥1; корни взаимно уничтожаются.
7. [−2; +∞). y=(x−3)²−2.
8. (−∞; 3]. y=−2(x+1)²+3.
9. [4; +∞). Минимальная сумма расстояний между −1 и 3 равна 4.
10. [0; +∞). При x≥0 оба слагаемых неотрицательны, y(0)=0.
11. (−∞; −5]. y=−(x−1)²−5.
12. {5}. Сумма постоянна.
13. [0; +∞). y=(x−2)².
14. [−8; +∞). y=3(x+1)²−8.
15. [1; +∞). y=|x|+1.
16. {2}. Общая область x≠0, хоть сумма и упрощается до 2.

Разбор пяти тонкостей

В задачах 4 и 6 выражения с корнем сокращаются, но область определения не расширяется: в задаче 4 по-прежнему x≥0, а в задаче 6 x≥1. Значение функции постоянно, так что её множество значений — одноэлементное {4} или {3}. Это не означает, что x можно подставлять произвольно.

В задаче 16 после сокращения 1/x−1/x получается число 2. Но исходная сумма не определена при x=0. При этом значение 2 достижимо, например при x=1, поэтому E(y)={2}. Для сравнения: если область определения окажется пустой, множество значений тоже будет пустым; с такой ситуацией эту задачу путать не следует.

В задаче 9 минимум суммы расстояний |x−3|+|x+1| равен расстоянию между точками 3 и −1. При −1≤x≤3 оба модуля раскрываются так, что сумма постоянна и равна 4. За пределами этого отрезка она возрастает. Поэтому нижняя граница включена.

В задаче 14 выделение квадрата выглядит так: 3x²+6x−5=3(x+1)²−8. Минимум равен −8 при x=−1. В задаче 8 наоборот коэффициент при квадрате отрицателен, поэтому конечная граница сверху, а снизу значения неограниченны.

Сверка ответов по графику: найдите точку экстремума упрощённой суммы, а не каждой функции отдельно. Если ответ записан в виде [a;+∞), покажите аргумент, при котором y=a; если (−∞;b], покажите аргумент с y=b. Если график суммы — прямая с ненулевым наклоном, диапазон равен ℝ.

Как обосновать ответы, а не угадывать по рисунку

Номер 1: складываем f и g по значениям одного аргумента: x²+(2x+3)=x²+2x+3. Добавляем и вычитаем 1, получаем (x+1)²+2. Любой квадрат неотрицателен, поэтому y≥2, а при x=−1 достигается y=2. Когда x по модулю возрастает без ограничения, квадрат стремится к бесконечности. Поэтому множество значений начинается с 2 и не имеет верхней границы.

Номер 2: сумма −x²+4x−1=−(x²−4x+4)+3=−(x−2)²+3. Так как квадрат неотрицателен, умножение на −1 делает вклад неположительным. Максимум равен 3 при x=2, а снизу ограничений нет. Это противоположный случай по сравнению с первым номером: неверно автоматически ставить квадратную скобку слева просто из-за наличия x² в формуле.

Номер 5: x²+1 и −x²+2x по отдельности имеют квадратичный вид, но при сложении квадратичные части уничтожаются: y=2x+1. Линейное выражение с ненулевым коэффициентом достигает любое действительное число y: достаточно взять x=(y−1)/2. Следовательно E(y)=ℝ. Нельзя получить этот ответ, анализируя диапазоны слагаемых по отдельности.

Номер 7: x²−6x+7=(x−3)²−2. Минимум −2 достигается при x=3. Для любого числа y≥−2 можно решить (x−3)²=y+2 и взять x=3+√(y+2), что подтверждает достижимость всего луча. Этот обратный ход полезен, когда неясно, действительно ли квадратная функция принимает все значения выше минимума, а не только некоторое дискретное множество.

Номер 15: значение y=2|x|+(−|x|+1)=|x|+1. Можно обозначить t=|x|≥0, тогда y=t+1≥1. Минимум достигается при x=0, а все большие значения реализуются выбором x=y−1. Отдельно искать максимум не нужно: |x| не ограничен сверху. В рабочем листе специально присутствуют две функции, содержащие модуль, чтобы показать, что сложение иногда резко упрощает исходную зависимость.

После самостоятельной работы полезно проверить крайние точки численно: в номере 11 максимум −5 достигается при x=1; в номере 13 минимум 0 достигается при x=2; в номере 14 минимум −8 достигается при x=−1. Эти значения должны удовлетворять исходным выражениям f и g, а не только преобразованной формуле. Если в процессе появились сокращения с корнями или дробями, перед подстановкой ещё раз проверьте исходную общую область определения.