Проверка преобразования графика для композиции с модулем — задания с разбором, 10 класс

Диагностика ошибок для 10 класса. У модульных преобразований разные правила. Для y=f(|x|) сначала отразите правую часть исходного графика относительно оси Oy, сохранив исходную правую половину. Для y=|f(x)| оставьте участки y≥0 и отразите только участки y<0 относительно оси Ox. Не путайте эти операции: модуль внутри аргумента и модуль всего значения не взаимозаменяемы.

Неверное решение для разбора

Ученик написал: «Если f(x)=x−2, то f(|x|)=|x−2|, потому что модуль делает всё выражение положительным». Проверьте при x=0: истинная функция равна −2, а предложенная 2. Верная запись f(|x|)=|x|−2. График этой функции симметричен относительно Oy, но может лежать ниже Ox.

Пять разных источников ошибки

• Перенесли модуль с аргумента на всё значение.
• Отразили график не относительно той оси.
• Забыли ограничения области определения исходной функции.
• Объявили две преобразованные функции различными, хотя для этой f они совпадают.
• Проверили только x≥0 и сделали неверный вывод для отрицательных x.

Найдите ошибку, исправьте формулу и укажите контрольную точку

1. f(x)=x−3. Ученик записал f(|x|)=|x−3|.
2. f(x)=x²−4. Ученик считает f(|x|)=|x²−4|.
3. f(x)=x+1. Ученик считает |f(x)|=f(|x|).
4. f(x)=x−1. Ученик утверждает, что график |f(x)| симметричен относительно Oy.
5. f(x)=√(x−2). Ученик считает D(f(|x|))=[2;+∞).
6. f(x)=1/(x−1). Ученик считает, что D(f(|x|))=ℝ\{1}.
7. f(x)=1−x². Ученик заменил |f(x)| на 1−x².
8. f(x)=√x. Ученик записал |f(x)|=√|x| на всей ℝ.
9. f(x)=x³−1. Ученик записал f(|x|)=|x³−1|.
10. f(x)=x²+1. Ученик утверждает, что |f(x)| обязательно отличается от f(|x|).
11. f(x)=|x−2|. Ученик считает f(|x|)=|f(x)|.
12. f(x)=−2x−1. Ученик отражает левую половину графика |f(x)| относительно оси Oy.
13. f(x)=(x−1)². Ученик считает f(|x|)=(x−1)² для любого x.
14. f(x)=2−|x|. Ученик считает, что внешние модули не изменяют график.
15. f(x)=x/(x+2). Ученик утверждает, что f(|x|) и |f(x)| имеют одинаковую область.
16. f(x)=x². Ученик уверен, что f(|x|) и |f(x)| обязательно различны.

Решения и пояснения

1. Правильно f(|x|)=|x|−3; при x=0 это −3, а предложенное выражение равно 3.
2. Правильно f(|x|)=x²−4; при x=0 значение −4, а не 4.
3. Правильно |f(x)|=|x+1|, f(|x|)=|x|+1; при x=−2 получим 1 и 3.
4. График |x−1| симметричен относительно прямой x=1, но не оси Oy.
5. Правильная область: (−∞;−2]∪[2;+∞), потому что |x|−2≥0.
6. Правильно D=ℝ\{−1,1}: знаменатель |x|−1 обнуляется в двух точках.
7. Правильно |f(x)|=|1−x²|: при x=2 значения 3 и −3 соответственно.
8. Правильно |f(x)|=√x только при x≥0; √|x|=f(|x|) допускает отрицательные x.
9. Правильно f(|x|)=|x|³−1; при x=0 первое равно −1, второе 1.
10. В данном случае обе функции совпадают с x²+1: выражение всегда положительно и чётно.
11. Правильно f(|x|)=||x|−2|, а |f(x)|=|x−2|. При x=−2 это 0 и 4.
12. Для |f(x)| отражают отрицательные значения относительно Ox; итог |-2x−1|, не −2|x|−1.
13. Правильно f(|x|)=(|x|−1)²; при x=−1: 0 вместо 4.
14. Правильно |f(x)|=|2−|x||; при x=3 получим 1 вместо −1.
15. D(f(|x|))=ℝ, D(|f(x)|)=ℝ\{−2}; у первой знаменатель |x|+2 всегда положителен.
16. Они совпадают: обе функции равны x². Это контрольный контрпример.

Как проверить график самостоятельно

Для f(|x|) сравните значения при x и −x: они должны быть равны всякий раз, когда обе точки входят в область определения. Для |f(x)| проверьте знак каждого полученного значения — отрицательных ординат быть не должно. Эти проверки независимы. Например, |x|−3 симметрична относительно Oy, но принимает отрицательные значения; |x−3| неотрицательна, но не симметрична относительно Oy.

Ограничения исходной функции сохраняют значение и после преобразования. Если f(x)=1/(x−1), запись f(|x|)=1/(|x|−1) исключает две точки x=±1. Если f(x)=√(x−2), подстановка |x| расширяет допустимую область на отрицательные x с |x|≥2. График можно строить только там, где формула имеет действительные значения.

Последняя ловушка — случайное совпадение. Для f(x)=x² обе процедуры дают x²; из этого нельзя сделать общий вывод. Для f(x)=x−1 функции f(|x|)=|x|−1 и |f(x)|=|x−1| различаются при x=0. Проверка формулы и области определения должна предшествовать построению графика.

Геометрический способ проверки двух преобразований

Для f(|x|) сначала оставьте часть исходного графика, находящуюся справа от вертикальной оси, вместе с её точками при x=0. Отразите эту часть зеркально влево. Если точка (a;b) с a≥0 принадлежит исходному графику, новая функция будет содержать обе точки (a;b) и (−a;b), когда a>0. Поэтому f(|x|) чётна на своей симметричной области определения даже тогда, когда f не является чётной. Это не утверждает, что ординаты будут положительны.

Для |f(x)| действия другие: аргументы не заменяются, а отрицательные ординаты меняют знак. Любая точка (x;b) с b<0 отражается в (x;−b) относительно горизонтальной оси. Точки с b≥0 остаются на своих местах. При этом область определения не расширяется: если исходная f не определена при некотором x, модуль от несуществующего значения тоже не определён. Так легко проверить задания 8, 12 и 15.

Для сравнения возьмите f(x)=x−3. У f(|x|)=|x|−3 вершина лежит в (0;−3), а нули равны ±3. У |f(x)|=|x−3| вершина в (3;0), график не имеет отрицательных ординат. Можно без рисунка подставить x=0 и x=−3: получится несовпадение значений и принципиально другая симметрия. Это наглядный контрпример ошибочному тождеству f(|x|)=|f(x)|.

Для функции f(x)=√(x−2) область определения начинается с x=2. После подстановки |x| допустимы две части прямой: x≤−2 и x≥2. Но внешний модуль |f(x)| не создаёт новых аргументов: допустимо только x≥2, а значения и так неотрицательны. Важно сначала вычислить множество допустимых x, иначе можно нарисовать красивую, но математически неверную левую ветвь.

Критерий быстрой проверки: если предполагаемая функция f(|x|) не симметрична относительно Oy, в её построении допущена ошибка. Если предполагаемая функция |f(x)| опускается ниже Ox, ошибка тоже очевидна. Однако обратные утверждения неверны: симметрия сама по себе не доказывает верность формулы, а неотрицательность не гарантирует сохранение исходной области определения. Проверяйте оба признака вместе с вычислением конкретных точек.