Определение параметра касания при касательной с нулевым наклоном — тематические карточки для 11 класса

Математика, 11 класс. Нулевой наклон означает горизонтальную касательную, но не всегда минимум. Вы будете находить параметр в формуле производной и проверять, достаточно ли данных для единственного ответа.

Цель: решать уравнение f′ₚ(x₀)=0, проверять обратной подстановкой и отличать единственность параметра от случаев «любое p» и «нет p».

Базовый разобранный пример

Пусть fₚ(x)=x²+px+5. Требуется горизонтальная касательная при x₀=−3. Производная f′ₚ(x)=2x+p, значит −6+p=0 и p=6. Получаем f₆(−3)=9−18+5=−4; сама касательная y=−4. Обратная проверка по производной: f′₆(−3)=0.

Шаг 1. Измените положение точки, не теряя смысл

1. Найдите p для горизонтальной касательной fₚ(x)=x²+px + 2 в x₀=-4. Определите уравнение касательной и проверьте ответ.
2. Найдите p для горизонтальной касательной fₚ(x)=x²+px − 3 в x₀=-2. Определите уравнение касательной и проверьте ответ.
3. Найдите p для горизонтальной касательной fₚ(x)=x²+px + 6 в x₀=1. Определите уравнение касательной и проверьте ответ.
4. Найдите p для горизонтальной касательной fₚ(x)=x²+px + 0 в x₀=3. Определите уравнение касательной и проверьте ответ.
5. Найдите p для горизонтальной касательной fₚ(x)=x²+px − 4 в x₀=5. Определите уравнение касательной и проверьте ответ.

Шаг 2. Переставьте параметр к старшей степени

1. У fₚ(x)=p x² + 8x + 3 должна быть горизонтальная касательная в x₀=-2. Найдите p и её высоту.
2. У fₚ(x)=p x² + 6x − 4 должна быть горизонтальная касательная в x₀=1. Найдите p и её высоту.
3. У fₚ(x)=p x² − 16x + 1 должна быть горизонтальная касательная в x₀=2. Найдите p и её высоту.
4. У fₚ(x)=p x² − 6x + 5 должна быть горизонтальная касательная в x₀=-3. Найдите p и её высоту.
5. У fₚ(x)=p x² − 16x − 2 должна быть горизонтальная касательная в x₀=4. Найдите p и её высоту.

Обратная проверка нужна по двум причинам: у производной может исчезнуть зависимость от параметра, а найденная касательная должна быть именно горизонтальной. При p=0 квадратичное семейство может выродиться в линейную функцию — это не повод придумывать несуществующую вершину параболы.

Шаг 3. У кубической функции горизонтальная касательная не обязательно экстремум

1. Дано fₚ(x)=x³−3p x + 2. Условие: горизонтальная касательная при x₀=1. Найдите p и координату точки.
2. Дано fₚ(x)=x³−3p x + 1. Условие: горизонтальная касательная при x₀=-2. Найдите p и координату точки.
3. Дано fₚ(x)=x³−3p x − 1. Условие: горизонтальная касательная при x₀=3. Найдите p и координату точки.

Два особых случая: данных может не хватать

1. У семейства fₚ(x)=p x²+7 при x₀=0 должна быть горизонтальная касательная. Найдите все p и саму касательную.
2. У семейства fₚ(x)=p x²+5x−2 при x₀=0 должна быть горизонтальная касательная. Существует ли такой p?

Подробный ключ и обратная проверка

1. p=−2·(-4)=8; fₚ(-4)=-14; касательная y=-14; f′ₚ(-4)=2·(-4)+(8)=0.
2. p=−2·(-2)=4; fₚ(-2)=-7; касательная y=-7; f′ₚ(-2)=2·(-2)+(4)=0.
3. p=−2·(1)=-2; fₚ(1)=5; касательная y=5; f′ₚ(1)=2·(1)+(-2)=0.
4. p=−2·(3)=-6; fₚ(3)=-9; касательная y=-9; f′ₚ(3)=2·(3)+(-6)=0.
5. p=−2·(5)=-10; fₚ(5)=-29; касательная y=-29; f′ₚ(5)=2·(5)+(-10)=0.
6. 0=2p·(-2)+(8); p=2; y₀=-5. Проверка: 2·(2)·(-2)+(8)=0.
7. 0=2p·(1)+(6); p=-3; y₀=-1. Проверка: 2·(-3)·(1)+(6)=0.
8. 0=2p·(2)+(-16); p=4; y₀=-15. Проверка: 2·(4)·(2)+(-16)=0.
9. 0=2p·(-3)+(-6); p=-1; y₀=14. Проверка: 2·(-1)·(-3)+(-6)=0.
10. 0=2p·(4)+(-16); p=2; y₀=-34. Проверка: 2·(2)·(4)+(-16)=0.
11. f′ₚ(x)=3x²−3p; p=(1)²=1, y₀=0. Подстановка: 3·(1)²−3·(1)=0.
12. f′ₚ(x)=3x²−3p; p=(-2)²=4, y₀=17. Подстановка: 3·(-2)²−3·(4)=0.
13. f′ₚ(x)=3x²−3p; p=(3)²=9, y₀=-55. Подстановка: 3·(3)²−3·(9)=0.
14. f′ₚ(0)=2p·0=0 при любом действительном p. Все p∈ℝ подходят, касательная y=7. Уникальный параметр определить нельзя.
15. f′ₚ(0)=2p·0+5=5 при любом p. Горизонтальной касательной здесь не бывает; решений нет.

Вывод для проверки: если производная в заданной точке даёт уравнение вида 0·p=0, решений бесконечно много; при 0·p=5 нет ни одного. Не делите на x₀, пока не проверили, что x₀ ненулевое. Если касательная горизонтальна, нормаль в этой точке вертикальна: это разные направления.

Обратная проверка: когда ответ выглядит правдоподобным, но неверен

Рассмотрим fₚ(x)=p x²−6x+4 и условие горизонтальной касательной в x=3. Ученик может получить p=−1, если забыть отрицательный знак перед линейным членом. Однако при p=−1 производная в нужной точке равна −2·3−6=−12, а не нулю. Правильный ход: f′ₚ(x)=2px−6, поэтому 6p−6=0 и p=1. Ордината точки равна 9−18+4=−5; прямая y=−5 и есть касательная. Слово «горизонтальная» относится к прямой, а не к самой оси абсцисс: её высота может быть отрицательной.

Условие на нулевой наклон не сообщает вид стационарной точки. Например, функция g(x)=x³ в нуле имеет производную 0, но никакого локального максимума или минимума там нет: функция возрастает и слева, и справа. Для параболы с ненулевым коэффициентом при x² вершина действительно является экстремумом, но для произвольного многочлена переносить это утверждение нельзя. Поэтому в заданиях на кубические функции не заменяйте математическое условие словами «точка минимума».

Наконец, если p стоит у старшей степени, нельзя безоговорочно делить уравнение 2px₀+b=0 на 2x₀. При x₀=0 нужно сначала проверить b. Когда b=0, горизонтальная касательная есть для любого p; когда b≠0, её нет ни для какого p. В первом случае остальные сведения, например заданная точка графика или дополнительное условие p>0, могут сузить множество ответов, но одно равенство производной этого не делает.

Полезный способ оформить решение для преподавателя состоит из четырёх строк: записать производную, составить равенство нулю именно при заданном x₀, решить уравнение относительно p и проверить производную обратной подстановкой. После этого найдите точку касания и горизонтальную прямую y=f(x₀). Такой порядок отделяет основную идею от арифметики и помогает увидеть невозможные случаи раньше, чем появится ошибочное «решение».

Самопроверка без вычислителя: для квадратичной функции fₚ(x)=px²+bx+c при p≠0 вершина имеет абсциссу −b/(2p). Найденный параметр можно проверить и через эту формулу, если положение вершины должно совпасть с x₀. Но это лишь дополнительная проверка, а не универсальный способ: при p=0 функция уже линейная или постоянная, и формула вершины перестаёт применяться.