Определение параметра касания для касательной под заданным углом: проверочная работа по математике, 11 класс

Математика, 11 класс. Короткая контрольная на перевод угла наклона в производную. Угол отсчитываем от положительного направления Ox против часовой стрелки; допустимые наклоны касательной задаются тангенсом угла.

Цель: находить параметр по равенству f′ₚ(x₀)=tg α и распознавать недопустимую вертикальную касательную у графика дифференцируемой функции.

Три стартовых вопроса

1. Касательная к графику образует угол 45° с положительным направлением Ox. Чему равен её угловой коэффициент?
2. Касательная наклонена под углом 135°. Может ли её наклон равняться +1?
3. Верно ли, что у графика y=f(x), имеющего конечную производную в точке, касательная под углом 90° описывается уравнением y=kx+b?

Памятка перед основной работой: tg 0°=0; tg 30°=√3/3; tg 45°=1; tg 60°=√3; tg 120°=−√3; tg 135°=−1; tg 150°=−√3/3. Для касательной со знаком минус угол тупой; подмена угла на дополнительный острый изменит знак ответа.

Задачи 4–9. Найдите параметр, проверьте производной

1. Функция fₚ(x)=x²+px + 0. При x₀=-2 касательная составляет угол 45°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.
2. Функция fₚ(x)=x²+px + 4. При x₀=3 касательная составляет угол 135°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.
3. Функция fₚ(x)=x²+px + 7. При x₀=0 касательная составляет угол 0°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.
4. Функция fₚ(x)=x²+px − 2. При x₀=1 касательная составляет угол 60°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.
5. Функция fₚ(x)=x²+px + 1. При x₀=-1 касательная составляет угол 120°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.
6. Функция fₚ(x)=x²+px + 5. При x₀=2 касательная составляет угол 30°. Определите p и укажите, возрастает или убывает касательная прямая.

Задачи 10–12. Коэффициент при квадрате и третий порядок

1. У fₚ(x)=p x²−2x+3 касательная в x₀=1 образует угол 45°. Найдите p.
2. Для fₚ(x)=p x²+6x−1 при x₀=−2 угол касательной равен 135°. Восстановите p.
3. Для fₚ(x)=x³+p x в x₀=1 наклон равен tg 0°. Найдите p и объясните, почему угол не отрицательный.

Проверка по ключу

1. k=tg45°=1.
2. Нет: tg135°=−1, значит наклон отрицательный.
3. Нет. Угол 90° соответствует вертикали, конечный угловой коэффициент отсутствует; у дифференцируемой функции в данной точке касательная не вертикальна.
4. p=1−2·(-2)=5; f′(-2)=1, касательная возрастает.
5. p=-1−2·(3)=-7; f′(3)=-1, касательная убывает.
6. p=0−2·(0)=0; f′(0)=0, касательная горизонтальна.
7. p=√3 − 2; f′(1)=2·(1)+p=√3; касательная возрастает.
8. p=−√3 + 2; f′(-1)=2·(-1)+p=−√3; касательная убывает.
9. p=√3/3 − 4; f′(2)=2·(2)+p=√3/3; касательная возрастает.
10. f′(1)=2p−2=1, поэтому p=3/2. Проверка: 2·(3/2)−2=1.
11. −4p+6=−1, поэтому p=7/4. Подстановка даёт −4·7/4+6=−1.
12. 3·1²+p=0, значит p=−3. tg 0°=0, касательная горизонтальна: «отрицательный угол» здесь не нужен.

Оценивание: 1 балл за каждый из 12 пунктов. 11–12 — уверенное владение темой; 8–10 — нужно повторить углы 120° и 135°; 5–7 — отработать перевод угла в производную; 0–4 — сначала решить три стартовых вопроса с объяснениями. Если получился сложный параметр со √3, это нормальный точный ответ: десятичное округление не требуется.

Как избежать трёх типичных ошибок с углами

Некоторые путают отрицательный наклон и отрицательный угол. Для геометрического угла наклона прямой, принятого в школьной математике, используют промежуток от 0° включительно до 180° не включительно. Убывающая прямая имеет тупой угол: например, её наклон −1 соответствует 135°, а не 45°. Именно поэтому при переходе от угла к производной сначала вычисляют tg α со знаком, а лишь потом решают уравнение для параметра.

Если угол равен 60°, правильный коэффициент равен √3. Возведение в квадрат ради избавления от корня без последующей проверки могло бы добавить неверный знак параметра. Отрицательные угловые коэффициенты не запрещены; в задаче с углом 120° они необходимы. Сохраняйте радикалы точно, если нет специального требования округлить результат.

Угол 90° — особенный. Его тангенс не определён, поэтому у графика функции, дифференцируемой при данном x₀, нельзя получить такую касательную простым подбором параметра. Если задача касается не графика y=f(x), а произвольной кривой, вертикальная касательная может встречаться, но тогда нужен другой способ её описания. Это не случай данного тренажёра.