Сравнение наклонов двух прямых для нормали к графику параболы — самостоятельная работа, 11 класс

Математика, 11 класс. Исследование геометрии нормали к параболе. Обычная формула «взять обратный коэффициент с минусом» имеет существенное исключение при горизонтальной касательной.

Цель: сравнивать наклон нормали и прямой, не делить на нуль, отличать вертикаль от прямой с k=0; обосновывать полученные выводы.

Наблюдение: у одной точки две взаимно перпендикулярные прямые

Рассмотрим y=x²−2x+3 в точке x₀=0. Производная равна −2; касательная имеет наклон −2, нормаль — 1/2. В точке x₀=1 производная равна 0, и нормаль вертикальна x=1. Если без проверки написать kₙ=−1/0, получится бессмысленная запись. Значит, правило нужно формулировать с оговоркой.

Сформулируйте правило и проверьте на контрпримере

Для параболы f(x)=ax²+bx+c, a≠0 в абсциссе x₀: kₜ=2ax₀+b. Если kₜ≠0, наклон нормали kₙ=−1/kₜ. При kₜ=0 нормаль имеет вид x=x₀; наклон конечным числом не выражается. Вертикальная прямая не может быть параллельной ни одной прямой вида y=kx+d. Для уравнения x=s — может, если s=x₀ (совпадение), или s≠x₀ (различные параллельные).

Карточка наблюдений: определите направление нормали

1. Для y=x² − 4x + 2 в точке с абсциссой x₀=0 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
2. Для y=−x² + 5x в точке с абсциссой x₀=1 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
3. Для y=2x² − x + 3 в точке с абсциссой x₀=1 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
4. Для y=−2x² + 3x + 1 в точке с абсциссой x₀=-1 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
5. Для y=x² − 3 в точке с абсциссой x₀=2 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
6. Для y=3x² − 2x + 1 в точке с абсциссой x₀=0 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
7. Для y=−x² − 2x + 4 в точке с абсциссой x₀=-2 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.
8. Для y=2x² + 5x − 1 в точке с абсциссой x₀=1 вычислите наклон касательной и уравнение нормали; укажите, возможна ли запись y=kx+d для нормали.

Прежде чем сравнивать с посторонней прямой, установите тип нормали. Координата вершины параболы равна xᵥ=−b/(2a); именно там производная нулевая, а нормаль вертикальная. Знак a при этом не влияет на правило взаимной перпендикулярности.

Новые данные: восстановите точку по направлению нормали

1. Парабола y=x² + 2x + 1. Найдите абсциссу точки, где нормаль параллельна прямой y=-2x+7. Проверьте, что производная не равна нулю.
2. Парабола y=−2x² + 1. Найдите абсциссу точки, где нормаль параллельна прямой y=1x+7. Проверьте, что производная не равна нулю.
3. Парабола y=2x² − 3x + 1. Найдите абсциссу точки, где нормаль параллельна прямой y=1/2x+7. Проверьте, что производная не равна нулю.
4. Парабола y=x² + 5x + 1. Найдите абсциссу точки, где нормаль параллельна прямой y=-1/3x+7. Проверьте, что производная не равна нулю.

Контрпримеры к неверным обобщениям

1. Для y=2x²−8x+1 найдите нормаль при x₀=2. Может ли она быть параллельна y=5?
2. Нормаль к y=−x²+6x−4 при x₀=3 сравните с прямой x=−1.
3. У y=x²+x нормаль при x₀=0 сравните с прямой y=x+2. Прямые параллельны или перпендикулярны?

Решения с объяснением

1. Точка (0; 2), kₜ=-4; kₜ=-4, kₙ=1/4; нормаль y=1/4x + 2. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
2. Точка (1; 4), kₜ=3; kₜ=3, kₙ=-1/3; нормаль y=-1/3x + 13/3. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
3. Точка (1; 4), kₜ=3; kₜ=3, kₙ=-1/3; нормаль y=-1/3x + 13/3. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
4. Точка (-1; -4), kₜ=7; kₜ=7, kₙ=-1/7; нормаль y=-1/7x − 29/7. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
5. Точка (2; 1), kₜ=4; kₜ=4, kₙ=-1/4; нормаль y=-1/4x + 3/2. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
6. Точка (0; 1), kₜ=-2; kₜ=-2, kₙ=1/2; нормаль y=1/2x + 1. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
7. Точка (-2; 4), kₜ=2; kₜ=2, kₙ=-1/2; нормаль y=-1/2x + 3. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
8. Точка (1; 6), kₜ=9; kₜ=9, kₙ=-1/9; нормаль y=-1/9x + 55/9. Нормаль имеет конечный угловой коэффициент.
9. Наклон касательной должен быть −1/(-2)=1/2; 2x+(2)=1/2, x₀=-3/4. Подстановка в производную даёт 1/2≠0, условие выполнено.
10. Наклон касательной должен быть −1/(1)=-1; -4x+(0)=-1, x₀=1/4. Подстановка в производную даёт -1≠0, условие выполнено.
11. Наклон касательной должен быть −1/(1/2)=-2; 4x+(-3)=-2, x₀=1/4. Подстановка в производную даёт -2≠0, условие выполнено.
12. Наклон касательной должен быть −1/(-1/3)=3; 2x+(5)=3, x₀=-1. Подстановка в производную даёт 3≠0, условие выполнено.
13. Производная 4x−8 при x=2 равна 0, нормаль x=2 вертикальна. Горизонтальной y=5 она не параллельна.
14. Производная −2x+6 при x=3 равна 0. Нормаль x=3 вертикальна и параллельна различной вертикали x=−1.
15. kₜ=1, kₙ=−1; заданная прямая имеет наклон +1. Их произведение −1, значит нормаль перпендикулярна заданной прямой.

Итог исследования. Условие k₁·k₂=−1 применимо только к двум невертикальным взаимно перпендикулярным прямым. У нормали к вершине параболы угловой коэффициент не определён; правильная запись уравнения в таком случае имеет вид x=const. При равенстве наклонов у двух прямых дополнительно проверьте их свободные члены, если нужно установить совпадение.

Проверка рассуждения на конкретных точках

Из условия «нормаль параллельна y=kx+d» при k≠0 можно восстановить точку касания: наклон касательной должен быть −1/k. Для y=x²+2x+1 и прямой с наклоном −2 получаем наклон касательной 1/2 и уравнение 2x+2=1/2. Отсюда x=−3/4. Производная действительно равна 1/2, а произведение наклонов 1/2 и −2 равно −1. Уравнение самой нормали можно записать, если дополнительно вычислить значение функции в этой точке.

Для горизонтальной прямой y=const ситуация иная: нормаль к параболе никогда не имеет нулевого конечного наклона, ведь тогда касательная должна быть вертикальной, а у параболы y=ax²+bx+c производная конечна во всех точках. Вертикальная же нормаль появляется в вершине. Это помогает быстро отвергнуть задачу, где без проверки пытаются приравнять −1/kₜ к нулю.

Численный тест пригоден и для обнаружения опечатки в своём решении. Если вы нашли наклон нормали 2, наклон касательной должен быть −1/2. Если производная в найденной точке оказалась 1/2, значит потерян минус; если равна −2, вероятно перепутаны коэффициенты самих прямых. Проверить произведение наклонов −1 проще, чем повторять всю алгебру.