Сравнение наклонов двух прямых при известной точке касания — задачи с решениями для 11 класса

Математика, 11 класс. Этот разбор построен вокруг чужих решений, где спутаны значение функции, производная, свободный член касательной и её угловой коэффициент.

Цель: выявлять конкретный ошибочный шаг, исправлять уравнение касательной и сравнивать две прямые в точке касания.

Начните с неправильного решения, а не с формулы

1. Для f(x)=x²+3x, x₀=1, ученик назвал наклон 4, поскольку f(1)=4.
2. Для f(x)=2x²−x+1, x₀=0, ученик получил касательную y=−x, игнорируя f(0).
3. Для f(x)=−x²+4x, x₀=1 ученик заявил, что касательная параллельна y=3x−7.
4. Для f(x)=x²−4x+5, x₀=2 ученик рассчитал наклон нормали по формуле −1/0.
5. Для f(x)=3x², x₀=−1 ученик назвал прямые y=−6x+9 и y=−6x−3 совпадающими, потому что наклоны равны.
6. Для f(x)=x³, x₀=0 ученик написал касательную y=x из соображения, что обе прямые проходят через (0;0).

Как проверять: сначала найдите координаты точки на графике, затем производную, затем уравнение касательной. Только после этого сопоставляйте две прямые: равенство угловых коэффициентов означает одинаковое направление, а совпадение дополнительно требует одинакового свободного члена.

Закрепление: решите без подсказки

1. Для f(x)=x² − 2x + 3 в x₀=2 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=2x + 3. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
2. Для f(x)=2x² + x − 1 в x₀=-1 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=−6x − 3. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
3. Для f(x)=−x² + 4x в x₀=1 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=2x + 1. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
4. Для f(x)=3x² − 3x + 2 в x₀=0 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=−3x + 3. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
5. Для f(x)=x² + 3x − 2 в x₀=-2 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=−2x − 6. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
6. Для f(x)=2x² − 4x + 5 в x₀=1 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=3. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
7. Для f(x)=x² − 6x в x₀=3 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=−7. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
8. Для f(x)=−2x² + x + 2 в x₀=-1 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=4. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.
9. Для f(x)=3x² + 1 в x₀=2 найдите касательную и сравните с прямой ℓ: y=12x − 11. Укажите: совпадают; параллельны и различны; или пересекаются.

Ответы и исправления с обоснованием

1. Настоящий наклон f′(1)=5. Значение функции 4 задаёт высоту точки (1;4), но не наклон. Касательная y=5x−1.
2. f′(0)=−1, f(0)=1, поэтому касательная y=−x+1. Наклон верный, свободный член — нет.
3. f′(1)=2; сравниваем 2 и 3. Прямые не параллельны; касательная y=2x+1.
4. f′(2)=0: касательная y=1 горизонтальна, нормаль x=2 вертикальна. Деление на нуль запрещено.
5. Обе имеют наклон −6, но свободные члены 9 и −3 различаются. Касательная к графику при x₀=−1 равна y=−6x−3; прямые параллельны и не совпадают.
6. f′(0)=0, значит настоящая касательная y=0. Общая точка без равенства наклонов не даёт касания.
7. Точка (2; 3), f′(2)=2. Касательная y=2x − 1; у прямой ℓ наклон 2. Итог: параллельны и различны. Равные наклоны, но разные свободные члены.
8. Точка (-1; 0), f′(-1)=-3. Касательная y=−3x − 3; у прямой ℓ наклон -6. Итог: пересекаются. У наклонов разные значения.
9. Точка (1; 3), f′(1)=2. Касательная y=2x + 1; у прямой ℓ наклон 2. Итог: совпадают. Оба коэффициента при x и оба свободных члена совпали.
10. Точка (0; 2), f′(0)=-3. Касательная y=−3x + 2; у прямой ℓ наклон -3. Итог: параллельны и различны. Равные наклоны, но разные свободные члены.
11. Точка (-2; -4), f′(-2)=-1. Касательная y=−x − 6; у прямой ℓ наклон -2. Итог: пересекаются. У наклонов разные значения.
12. Точка (1; 3), f′(1)=0. Касательная y=3; у прямой ℓ наклон 0. Итог: совпадают. Оба коэффициента при x и оба свободных члена совпали.
13. Точка (3; -9), f′(3)=0. Касательная y=−9; у прямой ℓ наклон 0. Итог: параллельны и различны. Равные наклоны, но разные свободные члены.
14. Точка (-1; -1), f′(-1)=5. Касательная y=5x + 4; у прямой ℓ наклон 0. Итог: пересекаются. У наклонов разные значения.
15. Точка (2; 13), f′(2)=12. Касательная y=12x − 11; у прямой ℓ наклон 12. Итог: совпадают. Оба коэффициента при x и оба свободных члена совпали.

Контроль перед сдачей: каждый ответ должен содержать не только слово «параллельны» или «пересекаются», но и вычисленные наклоны. Равенство f(x₀) и свободного члена прямой верно только при x₀=0; в остальных случаях нужно уравнение y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀). Отдельно проверяйте вертикальные нормали: сравнение коэффициентов k к ним неприменимо.

Почему проверка в точке касания состоит из двух независимых частей

Пусть график задан функцией f(x)=2x²+x, точка касания имеет абсциссу 1. Находим f(1)=3 и f′(1)=5. Касательная проходит через (1;3) и имеет наклон 5, следовательно, y−3=5(x−1), то есть y=5x−2. Прямая y=5x+8 параллельна ей, но не совпадает. Прямая y=3x проходит через ту же точку (1;3), но наклон имеет другой. Ни одна из этих двух прямых не является касательной к указанному графику при x=1.

Если в условии даны обе прямые в общем виде, например 2y−6x+4=0 и y=3x−5, сначала разрешите оба равенства относительно y. Получатся y=3x−2 и y=3x−5. Сопоставление коэффициентов теперь однозначно: наклоны равны, свободные члены различаются. Нельзя считать коэффициент при x из неразрешённого первого равенства равным −6 — сначала учтите коэффициент перед y.

При вертикальной нормали равенство угловых коэффициентов не работает: в такой точке нормаль задаётся уравнением x=x₀. В карточках этого пакета сравнение двух обычных прямых выполняется через производную, но знания об особом случае полезны для контроля: если ученик бездумно написал «нормаль имеет наклон −1/0», это ошибка, а не законченный ответ.