Поиск неверных границ интегрирования между двумя параболами — тематические карточки для 11 класса

Цель: научиться распознавать неверные пределы интегрирования, когда замкнутая область образована именно двумя параболами. Важно не путать абсциссы их пересечения с вершинами, нулями или границами видимого рисунка.

Сверьте таблицу: где ошибка в границах?

Даны две параболы y=f(x) и y=g(x). Их пересечения вычисляются из f(x)=g(x). Когда на внутреннем промежутке f выше g, площадь ограниченной ими области равна интегралу разности f−g от левой точки пересечения до правой. Перестановка границ поменяет знак определённого интеграла, но не создаст новую геометрическую площадь.

Таблица специально содержит ошибочные предложения. Не принимайте запись «верхняя парабола» на веру только по рисунку: её нужно проверить знаком разности между найденными корнями. В первых восьми пунктах найдите неправильный конец промежутка; у третьего и седьмого пункта дополнительно проверьте порядок пределов.

Задания 1–8: анализ ошибочных пределов

1. Даны f(x)=−x² + 4x + 5 и g(x)=x² + 2x − 7. Ученик выбрал границы [-3; 3]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
2. Даны f(x)=−x² − 2x + 6 и g(x)=2x² − 11x − 6. Ученик выбрал границы [-1; 5]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
3. Даны f(x)=−x² + 3x − 1 и g(x)=x² − 7x − 1. Ученик выбрал границы [5; 0]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
4. Даны f(x)=−x² − 4x + 7 и g(x)=3x² + 4x − 5. Ученик выбрал границы [-2; 1]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
5. Даны f(x)=−x² + 2 и g(x)=2x² − 21x + 20. Ученик выбрал границы [0; 6]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
6. Даны f(x)=−x² + 5x − 3 и g(x)=x² + 9x − 19. Ученик выбрал границы [-4; 3]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
7. Даны f(x)=−x² + 6x + 1 и g(x)=3x² − 2x − 11. Ученик выбрал границы [3; -1]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
8. Даны f(x)=−x² − x + 3 и g(x)=x² − 15x + 23. Ученик выбрал границы [3; 5]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.

Продолжение: вычисление и поиск противоречий

Во второй половине изменены расстояние между пересечениями, кривизна обеих парабол и положение вершин. Учитывайте, что равенство нулю разности при двух значениях x не говорит о том, что сами графики пересекают ось Ox там же. Если один из пределов искусственно сместить внутрь области, интеграл потеряет кусок фигуры; смещение наружу добавит лишнюю площадь или изменит знак разности.

Задания 9–16: докажите исправление

1. Даны f(x)=−x² + 2x и g(x)=2x² + 23x + 30. Ученик выбрал границы [-6; -2]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
2. Даны f(x)=−x² − 3x − 1 и g(x)=3x² − 3x − 17. Ученик выбрал границы [-2; 3]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
3. Даны f(x)=−x² + 5x + 8 и g(x)=x² + 3x − 16. Ученик выбрал границы [4; -3]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
4. Даны f(x)=−x² − 2x + 4 и g(x)=2x² − 11x + 4. Ученик выбрал границы [1; 3]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
5. Даны f(x)=−x² + 7x + 1 и g(x)=3x² − 13x + 17. Ученик выбрал границы [0; 4]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
6. Даны f(x)=−x² − 4x − 2 и g(x)=2x² + 8x − 2. Ученик выбрал границы [-4; 1]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
7. Даны f(x)=−x² + 6 и g(x)=x² − 8x − 4. Ученик выбрал границы [5; -1]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.
8. Даны f(x)=−x² + 2x − 3 и g(x)=3x² − 34x + 53. Ученик выбрал границы [3; 7]. Найдите точки пересечения, укажите верные границы, определите верхнюю параболу и вычислите площадь.

Полный ключ: пересечения, выбор промежутка, значения площадей

1. f−g=2(x−(-2))(3−x), нули x=-2 и x=3. Между ними f−g≥0. Границы [-2; 3]; площадь S=∫[-2;3](f−g)dx=125/3 кв. ед. Ошибка: левая граница взята вне области.
2. f−g=3(x−(-1))(4−x), нули x=-1 и x=4. Между ними f−g≥0. Границы [-1; 4]; площадь S=∫[-1;4](f−g)dx=125/2 кв. ед. Ошибка: правая граница взята вне области.
3. f−g=2(x−(0))(5−x), нули x=0 и x=5. Между ними f−g≥0. Границы [0; 5]; площадь S=∫[0;5](f−g)dx=125/3 кв. ед. Ошибка: границы перепутаны местами, получается отрицательный ориентированный интеграл.
4. f−g=4(x−(-3))(1−x), нули x=-3 и x=1. Между ними f−g≥0. Границы [-3; 1]; площадь S=∫[-3;1](f−g)dx=128/3 кв. ед. Ошибка: отсечена часть области слева.
5. f−g=3(x−(1))(6−x), нули x=1 и x=6. Между ними f−g≥0. Границы [1; 6]; площадь S=∫[1;6](f−g)dx=125/2 кв. ед. Ошибка: левая граница взята вне области.
6. f−g=2(x−(-4))(2−x), нули x=-4 и x=2. Между ними f−g≥0. Границы [-4; 2]; площадь S=∫[-4;2](f−g)dx=72 кв. ед. Ошибка: правая граница взята вне области.
7. f−g=4(x−(-1))(3−x), нули x=-1 и x=3. Между ними f−g≥0. Границы [-1; 3]; площадь S=∫[-1;3](f−g)dx=128/3 кв. ед. Ошибка: границы перепутаны местами, получается отрицательный ориентированный интеграл.
8. f−g=2(x−(2))(5−x), нули x=2 и x=5. Между ними f−g≥0. Границы [2; 5]; площадь S=∫[2;5](f−g)dx=9 кв. ед. Ошибка: отсечена часть области слева.
9. f−g=3(x−(-5))(-2−x), нули x=-5 и x=-2. Между ними f−g≥0. Границы [-5; -2]; площадь S=∫[-5;-2](f−g)dx=27/2 кв. ед. Ошибка: левая граница взята вне области.
10. f−g=4(x−(-2))(2−x), нули x=-2 и x=2. Между ними f−g≥0. Границы [-2; 2]; площадь S=∫[-2;2](f−g)dx=128/3 кв. ед. Ошибка: правая граница взята вне области.
11. f−g=2(x−(-3))(4−x), нули x=-3 и x=4. Между ними f−g≥0. Границы [-3; 4]; площадь S=∫[-3;4](f−g)dx=343/3 кв. ед. Ошибка: границы перепутаны местами, получается отрицательный ориентированный интеграл.
12. f−g=3(x−(0))(3−x), нули x=0 и x=3. Между ними f−g≥0. Границы [0; 3]; площадь S=∫[0;3](f−g)dx=27/2 кв. ед. Ошибка: отсечена часть области слева.
13. f−g=4(x−(1))(4−x), нули x=1 и x=4. Между ними f−g≥0. Границы [1; 4]; площадь S=∫[1;4](f−g)dx=18 кв. ед. Ошибка: левая граница взята вне области.
14. f−g=3(x−(-4))(0−x), нули x=-4 и x=0. Между ними f−g≥0. Границы [-4; 0]; площадь S=∫[-4;0](f−g)dx=32 кв. ед. Ошибка: правая граница взята вне области.
15. f−g=2(x−(-1))(5−x), нули x=-1 и x=5. Между ними f−g≥0. Границы [-1; 5]; площадь S=∫[-1;5](f−g)dx=72 кв. ед. Ошибка: границы перепутаны местами, получается отрицательный ориентированный интеграл.
16. f−g=4(x−(2))(7−x), нули x=2 и x=7. Между ними f−g≥0. Границы [2; 7]; площадь S=∫[2;7](f−g)dx=250/3 кв. ед. Ошибка: отсечена часть области слева.

Как доказать ответ без рисунка: представьте разность в форме C(x−a)(b−x), C>0. На a<x<b произведение неотрицательно, следовательно, не требуется менять верхнюю параболу местами. Проверка подстановкой концов даёт нуль, а расстояние b−a определяет знак и размер результата. Поиск пересечений состоит из решения f=g, а не f=0 и g=0 по отдельности.

Для быстрой самостоятельной проверки существует полезная формула именно для разности такого вида: S=C(b−a)³/6. Но это следствие интегрирования, а не универсальная формула для любых двух парабол: коэффициент C и оба корня должны быть проверены по конкретным уравнениям.