Поиск неверных границ интегрирования для области с пересечением оси — проверочная работа по математике, 11 класс

Назначение работы: найти ошибочные границы и недостающие разбиения площади между графиком квадратичной функции и осью абсцисс на указанном отрезке. В этой работе нельзя заменить геометрическую площадь отрицательным определённым интегралом.

Исходный пример и обратная проверка

Рассмотрим y=(x+1)(x−2) при −2≤x≤3. Корни −1 и 2 разбивают исходный отрезок на три части. На внешних частях выражение положительно, между корнями — отрицательно; поэтому площадь равна сумме модулей трёх интегралов, то есть 49/6 кв. ед. Если взять только интеграл от −1 до 2, мы измерим лишь центральную часть, а внешние «крылья» потеряем.

Обратная проверка: на интервале [−1;2] функция отрицательна, поэтому интеграл на этом участке обязан быть неположительным, однако площадь центрального участка положительна. Сумма трёх ориентированных интегралов может давать другую величину; только сумма абсолютных площадей возвращает геометрический смысл.

Изменённые условия: оцените границы до вычисления

Для заданий 1–5 сначала пометьте вертикальные ограничения x=L и x=R, а уже затем корни функции. Корень, совпадающий с краем отрезка, не образует нового внутреннего участка. Записывая знак по интервалам, используйте хотя бы одно пробное значение из каждого промежутка: одно необоснованное «минус» меняет смысл итогового числа.

1. График y=x² + 2x − 3 на [-4; 2]. В черновике предложено: [-3; 1]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
2. График y=−x² + 2x + 8 на [-3; 5]. В черновике предложено: [-3; 5] без изменения знака. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
3. График y=2x² − 6x на [-2; 4]. В черновике предложено: [-2; 0] и [3; 4]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
4. График y=−2x² − 10x − 8 на [-5; 0]. В черновике предложено: [-4; -1]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
5. График y=x² − 4x − 5 на [-2; 5]. В черновике предложено: [-2; 5] без изменения знака. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.

Второй круг: обратная проверка ошибочных схем

Задания 6–10 составлены так, что меняется и знак старшего коэффициента, и положение корней относительно ограничивающих прямых. Проверьте результат в обратном порядке: сумма площадей всех неперекрывающихся частей обязана быть неотрицательной и не меньше площади любой одной части. Если ответ меньше отдельного найденного участка, в решении есть пропущенная часть или ошибка со знаком.

1. График y=−x² + 5x − 4 на [0; 6]. В черновике предложено: [0; 1] и [4; 6]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
2. График y=2x² + 10x на [-6; 1]. В черновике предложено: [-5; 0]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
3. График y=x² + x − 2 на [-3; 3]. В черновике предложено: [-3; 3] без изменения знака. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
4. График y=−x² + x + 12 на [-3; 6]. В черновике предложено: [-3; -3] и [4; 6]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
5. График y=x² − 8x + 12 на [1; 7]. В черновике предложено: [2; 6]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.

Самостоятельное завершение

В последних пяти пунктах один из корней иногда попадает точно на вертикальную границу. Не добавляйте лишние интервалы нулевой длины ради одинаковой схемы: математически достаточно тех отрезков, внутри которых знак постоянен. Результат приводите в точных рациональных значениях; десятичное округление здесь не требуется.

1. График y=2x² + 4x − 16 на [-5; 2]. В черновике предложено: [-5; 2] без изменения знака. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
2. График y=−2x² + 10x на [0; 7]. В черновике предложено: [0; 0] и [5; 7]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
3. График y=x² + 8x + 12 на [-7; -1]. В черновике предложено: [-6; -2]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
4. График y=2x² − 12x + 10 на [-1; 6]. В черновике предложено: [-1; 6] без изменения знака. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.
5. График y=−x² + x + 6 на [-4; 4]. В черновике предложено: [-4; -2] и [3; 4]. Перечислите все необходимые точки разбиения и вычислите полную площадь между графиком и осью Ox.

Подробные ответы и обоснование исправлений

1. Корни x=-3, x=1; рабочие точки разбиения: -4, -3, 1, 2. [-4; -3]: |∫f dx|=7/3; [-3; 1]: |∫f dx|=32/3; [1; 2]: |∫f dx|=7/3. Итого S=46/3 кв. ед.; ученик потерял части отрезка у вертикальных границ.
2. Корни x=-2, x=4; рабочие точки разбиения: -3, -2, 4, 5. [-3; -2]: |∫f dx|=10/3; [-2; 4]: |∫f dx|=36; [4; 5]: |∫f dx|=10/3. Итого S=128/3 кв. ед.; знак функции может меняться: интеграл без модуля не равен площади.
3. Корни x=0, x=3; рабочие точки разбиения: -2, 0, 3, 4. [-2; 0]: |∫f dx|=52/3; [0; 3]: |∫f dx|=9; [3; 4]: |∫f dx|=11/3. Итого S=30 кв. ед.; ученик пропустил центральный участок.
4. Корни x=-4, x=-1; рабочие точки разбиения: -5, -4, -1, 0. [-5; -4]: |∫f dx|=11/3; [-4; -1]: |∫f dx|=9; [-1; 0]: |∫f dx|=11/3. Итого S=49/3 кв. ед.; ученик потерял части отрезка у вертикальных границ.
5. Корни x=-1, x=5; рабочие точки разбиения: -2, -1, 5. [-2; -1]: |∫f dx|=10/3; [-1; 5]: |∫f dx|=36. Итого S=118/3 кв. ед.; знак функции может меняться: интеграл без модуля не равен площади.
6. Корни x=1, x=4; рабочие точки разбиения: 0, 1, 4, 6. [0; 1]: |∫f dx|=11/6; [1; 4]: |∫f dx|=9/2; [4; 6]: |∫f dx|=26/3. Итого S=15 кв. ед.; ученик пропустил центральный участок.
7. Корни x=-5, x=0; рабочие точки разбиения: -6, -5, 0, 1. [-6; -5]: |∫f dx|=17/3; [-5; 0]: |∫f dx|=125/3; [0; 1]: |∫f dx|=17/3. Итого S=53 кв. ед.; ученик потерял части отрезка у вертикальных границ.
8. Корни x=-2, x=1; рабочие точки разбиения: -3, -2, 1, 3. [-3; -2]: |∫f dx|=11/6; [-2; 1]: |∫f dx|=9/2; [1; 3]: |∫f dx|=26/3. Итого S=15 кв. ед.; знак функции может меняться: интеграл без модуля не равен площади.
9. Корни x=-3, x=4; рабочие точки разбиения: -3, 4, 6. [-3; 4]: |∫f dx|=343/6; [4; 6]: |∫f dx|=50/3. Итого S=443/6 кв. ед.; ученик пропустил центральный участок.
10. Корни x=2, x=6; рабочие точки разбиения: 1, 2, 6, 7. [1; 2]: |∫f dx|=7/3; [2; 6]: |∫f dx|=32/3; [6; 7]: |∫f dx|=7/3. Итого S=46/3 кв. ед.; ученик потерял части отрезка у вертикальных границ.
11. Корни x=-4, x=2; рабочие точки разбиения: -5, -4, 2. [-5; -4]: |∫f dx|=20/3; [-4; 2]: |∫f dx|=72. Итого S=236/3 кв. ед.; знак функции может меняться: интеграл без модуля не равен площади.
12. Корни x=0, x=5; рабочие точки разбиения: 0, 5, 7. [0; 5]: |∫f dx|=125/3; [5; 7]: |∫f dx|=76/3. Итого S=67 кв. ед.; ученик пропустил центральный участок.
13. Корни x=-6, x=-2; рабочие точки разбиения: -7, -6, -2, -1. [-7; -6]: |∫f dx|=7/3; [-6; -2]: |∫f dx|=32/3; [-2; -1]: |∫f dx|=7/3. Итого S=46/3 кв. ед.; ученик потерял части отрезка у вертикальных границ.
14. Корни x=1, x=5; рабочие точки разбиения: -1, 1, 5, 6. [-1; 1]: |∫f dx|=64/3; [1; 5]: |∫f dx|=64/3; [5; 6]: |∫f dx|=14/3. Итого S=142/3 кв. ед.; знак функции может меняться: интеграл без модуля не равен площади.
15. Корни x=-2, x=3; рабочие точки разбиения: -4, -2, 3, 4. [-4; -2]: |∫f dx|=38/3; [-2; 3]: |∫f dx|=125/6; [3; 4]: |∫f dx|=17/6. Итого S=109/3 кв. ед.; ученик пропустил центральный участок.

Заключение. Строгое правило: площадь на [L;R] равна интегралу |f(x)| от L до R. Когда модуль заменяют суммой обычных интегралов, сначала строят разбиение на участки постоянного знака. Обратная проверка результата: вы вычислили все части от L до R и не включили участки за исходными вертикальными ограничениями.