Поиск неверных границ интегрирования для симметричной криволинейной фигуры — диагностика ошибок, 11 класс

Лист для распечатки. Цель — отличать симметрию функции от симметрии самой площади. Криволинейная область ограничена графиком, осью Ox и указанными вертикальными прямыми x=−b и x=b. Для площади участки ниже оси отражать «со знаком минус» нельзя.

Памятка: один рисунок — две разные проверки

Если f — чётная и неотрицательная на [−b;b], её площадь над Ox равна 2∫[0;b]f(x)dx. Если f нечётная, ориентированный интеграл ∫[−b;b]f(x)dx=0, однако площадь обычно не нулевая: нужно интегрировать |f|. Даже чётная функция при пересечении оси требует разбивки и модулей. Симметричность концов отрезка сама по себе не разрешает отбрасывать левую половину.

Перед каждым решением выполните три отметки на оси x: левая стенка, нули внутри отрезка и правая стенка. Пишите не просто ответ, а одну фразу о том, почему использование симметрии законно. Никакие рисунки из интернета для этих заданий не требуются — числа полностью задают положение участков.

Вариант А: девять чётных парабол

1. Фигура между y=−x² + 9 и Ox при x=−2, x=2. Ошибочное рассуждение: ученик поставил [0;2] без коэффициента 2. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
2. Фигура между y=−x² + 16 и Ox при x=−3, x=3. Ошибочное рассуждение: ученик проинтегрировал f со знаком на [−3;3]. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
3. Фигура между y=−x² + 25 и Ox при x=−5, x=5. Ошибочное рассуждение: ученик посчитал корни ±5 единственными внешними границами. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
4. Фигура между y=−x² + 9 и Ox при x=−5, x=5. Ошибочное рассуждение: ученик поставил [0;5] без коэффициента 2. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
5. Фигура между y=−x² + 4 и Ox при x=−4, x=4. Ошибочное рассуждение: ученик проинтегрировал f со знаком на [−4;4]. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
6. Фигура между y=−x² + 36 и Ox при x=−4, x=4. Ошибочное рассуждение: ученик посчитал корни ±6 единственными внешними границами. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
7. Фигура между y=−x² + 25 и Ox при x=−7, x=7. Ошибочное рассуждение: ученик поставил [0;7] без коэффициента 2. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
8. Фигура между y=−x² + 16 и Ox при x=−6, x=6. Ошибочное рассуждение: ученик проинтегрировал f со знаком на [−6;6]. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.
9. Фигура между y=−x² + 49 и Ox при x=−3, x=3. Ошибочное рассуждение: ученик посчитал корни ±7 единственными внешними границами. Объясните ошибку и вычислите полную площадь.

Обратите внимание на случаи, когда b превышает положительный корень. График продолжает существовать за нулём, но расположен по другую сторону оси. Формула удвоения по симметрии по-прежнему верна для |f|, а вот интегрирование самого f через изменивший знак участок даёт неверный размер фигуры.

Вариант Б: девять нечётных кривых

В этом варианте выбран другой тип симметрии. Функция нечётная: противоположные x дают противоположные y. Запрет на «вычитание площадей» остаётся в силе; знак ориентированного интеграла не является мерой двухмерной области. Укажите все нули, которые попадают внутрь полосы.

1. При x∈[−2;2] задана y=x³ − x. Предложенная схема: решено, что площадь нулевая, поскольку f нечётна. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
2. При x∈[−3;3] задана y=x³ − 4x. Предложенная схема: ученик поставил границы [−2;2], забыв стенки. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
3. При x∈[−4;4] задана y=x³ − x. Предложенная схема: ученик вычислил 2∫[0;b]f(x)dx без модуля. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
4. При x∈[−4;4] задана y=x³ − 9x. Предложенная схема: решено, что площадь нулевая, поскольку f нечётна. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
5. При x∈[−5;5] задана y=x³ − 4x. Предложенная схема: ученик поставил границы [−2;2], забыв стенки. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
6. При x∈[−3;3] задана y=x³ − x. Предложенная схема: ученик вычислил 2∫[0;b]f(x)dx без модуля. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
7. При x∈[−5;5] задана y=x³ − 9x. Предложенная схема: решено, что площадь нулевая, поскольку f нечётна. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
8. При x∈[−4;4] задана y=x³ − 4x. Предложенная схема: ученик поставил границы [−2;2], забыв стенки. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.
9. При x∈[−5;5] задана y=x³ − 16x. Предложенная схема: ученик вычислил 2∫[0;b]f(x)dx без модуля. Исправьте её, определите точки разбиения и площадь.

Ключ для учителя: исправление всех схем

1. Нули ±3 вне полосы; на [−2;2] функция положительна. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;2]|f|dx=92/3 кв. ед. Интервалы: [-2;2].
2. Нули ±4 вне полосы; на [−3;3] функция положительна. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;3]|f|dx=78 кв. ед. Интервалы: [-3;3].
3. Нули ±5 совпадают со стенками; дополнительных внутренних точек нет. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;5]|f|dx=500/3 кв. ед. Интервалы: [-5;5].
4. Нули ±3 внутри полосы; нужно менять знак интеграла за ними. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;5]|f|dx=196/3 кв. ед. Интервалы: [-5;-3], [-3;3], [3;5].
5. Нули ±2 внутри полосы; нужно менять знак интеграла за ними. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;4]|f|dx=32 кв. ед. Интервалы: [-4;-2], [-2;2], [2;4].
6. Нули ±6 вне полосы; на [−4;4] функция положительна. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;4]|f|dx=736/3 кв. ед. Интервалы: [-4;4].
7. Нули ±5 внутри полосы; нужно менять знак интеграла за ними. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;7]|f|dx=212 кв. ед. Интервалы: [-7;-5], [-5;5], [5;7].
8. Нули ±4 внутри полосы; нужно менять знак интеграла за ними. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;6]|f|dx=368/3 кв. ед. Интервалы: [-6;-4], [-4;4], [4;6].
9. Нули ±7 вне полосы; на [−3;3] функция положительна. Чётность позволяет считать половину площади с модулем: S=2∫[0;3]|f|dx=276 кв. ед. Интервалы: [-3;3].
10. Нечётная функция, нули −1, 0, 1 все внутри [−2;2]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;1]f dx+∫[1;2]f dx)=5 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
11. Нечётная функция, нули −2, 0, 2 все внутри [−3;3]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;2]f dx+∫[2;3]f dx)=41/2 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
12. Нечётная функция, нули −1, 0, 1 все внутри [−4;4]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;1]f dx+∫[1;4]f dx)=113 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
13. Нечётная функция, нули −3, 0, 3 все внутри [−4;4]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;3]f dx+∫[3;4]f dx)=65 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
14. Нечётная функция, нули −2, 0, 2 все внутри [−5;5]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;2]f dx+∫[2;5]f dx)=457/2 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
15. Нечётная функция, нули −1, 0, 1 все внутри [−3;3]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;1]f dx+∫[1;3]f dx)=65/2 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
16. Нечётная функция, нули −3, 0, 3 все внутри [−5;5]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;3]f dx+∫[3;5]f dx)=337/2 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
17. Нечётная функция, нули −2, 0, 2 все внутри [−4;4]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;2]f dx+∫[2;4]f dx)=80 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.
18. Нечётная функция, нули −4, 0, 4 все внутри [−5;5]. Ориентированный интеграл на симметричном отрезке равен 0, но площадь S=2(−∫[0;4]f dx+∫[4;5]f dx)=337/2 кв. ед. Проверка по симметрии: две половины имеют одинаковые положительные площади.

Критерии: 1 балл — верные заданные стенки; 1 балл — все внутренние нули и разбиение; 1 балл — правильная формула с модулем или сменой знака; 1 балл — значение площади. Для варианта Б ошибка «интеграл равен нулю, значит площадь нулевая» является смысловой и должна исправляться пояснением о неотрицательности площади.