Восстановление высоты тела для усечённого конуса — математический практикум для 11 класса

Цель: восстановить высоту усечённого кругового конуса из объёма, образующей или площади боковой поверхности; отделять вертикальную высоту h от наклонной образующей l. Везде R>r>0, где R и r — радиусы оснований.

Исследовательское наблюдение: что остаётся неизменным?

Пусть два усечённых конуса имеют одинаковые радиусы оснований. У первого высота вдвое больше, чем у второго. По формуле объёма V=πh(R²+Rr+r²)/3 объёмы тоже относятся как 2:1. Измеряя радиусы и объём, можно восстановить высоту без чертежа: h=3V/[π(R²+Rr+r²)]. Коэффициент в скобках положителен, поэтому при заданных радиусах и положительном V высота единственна.

В осевом сечении усечённого конуса появляется прямоугольный треугольник с катетами h и R−r и гипотенузой l. Поэтому l²=h²+(R−r)². Считают h по теореме Пифагора, а не делением l на радиус. Из площади боковой поверхности Sбок=π(R+r)l сначала находят образующую; лишь затем высоту. Это два разных способа восстановления, которые полезно сравнивать.

Задача-наблюдение: шесть объёмов — шесть высот

1. Усечённый конус: R=8 см, r=3 см, V=291π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.
2. Усечённый конус: R=7 см, r=2 см, V=134π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.
3. Усечённый конус: R=6 см, r=4 см, V=380/3π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.
4. Усечённый конус: R=10 см, r=5 см, V=700π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.
5. Усечённый конус: R=9 см, r=1 см, V=364/3π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.
6. Усечённый конус: R=12 см, r=8 см, V=2128/3π см³. Найдите высоту h и проверьте обратной подстановкой.

Сравните полученные результаты. При неизменных R и r линейность V по h доказывает однозначность; но при изменённых радиусах равные объёмы не означали бы равные высоты. У объёма единица см³, у высоты см — потеря кубической единицы после деления на площадь в см² является дополнительной проверкой размерности.

Проверьте правило на другой информации: образующая

1. Вместо объёма известна образующая: R=4 см, r=1 см, l=5 см. Чему равна высота h? Можно ли ошибочно приравнять h к l?
2. Вместо объёма известна образующая: R=7 см, r=2 см, l=13 см. Чему равна высота h? Можно ли ошибочно приравнять h к l?
3. Вместо объёма известна образующая: R=13 см, r=1 см, l=13 см. Чему равна высота h? Можно ли ошибочно приравнять h к l?
4. Вместо объёма известна образующая: R=10 см, r=2 см, l=17 см. Чему равна высота h? Можно ли ошибочно приравнять h к l?

Почему образующая не может быть короче разности радиусов? В осевом сечении l — гипотенуза, а R−r — один из катетов. Если предложенное l меньше R−r, выражение для h² отрицательно, действительной высоты не существует. При l=R−r получилось бы h=0, то есть вырожденный объект без положительной высоты.

Контрпроверка по площади боковой поверхности

1. Известна боковая поверхность Sбок=65π см², R=8 см и r=5 см. Восстановите образующую, затем высоту; объясните, почему нельзя поставить площадь сразу вместо объёма.
2. Известна боковая поверхность Sбок=195π см², R=10 см и r=5 см. Восстановите образующую, затем высоту; объясните, почему нельзя поставить площадь сразу вместо объёма.

Последний контрпример: невозможное тело

1. В черновике указаны R=10 см, r=3 см и образующая l=5 см. Учитель требует определить положительную высоту. Докажите, существует ли такой усечённый конус, и предложите минимальное неравенство для допустимости.

Решения: восстановление высоты и обратная проверка

1. R²+Rr+r²=97; h=3·(291)/(97)=9 см. Возврат в формулу даёт V=291π см³.
2. R²+Rr+r²=67; h=3·(134)/(67)=6 см. Возврат в формулу даёт V=134π см³.
3. R²+Rr+r²=76; h=3·(380/3)/(76)=5 см. Возврат в формулу даёт V=380/3π см³.
4. R²+Rr+r²=175; h=3·(700)/(175)=12 см. Возврат в формулу даёт V=700π см³.
5. R²+Rr+r²=91; h=3·(364/3)/(91)=4 см. Возврат в формулу даёт V=364/3π см³.
6. R²+Rr+r²=304; h=3·(2128/3)/(304)=7 см. Возврат в формулу даёт V=2128/3π см³.
7. h=√(l²−(R−r)²)=√(25−9)=4 см. Образующая 5 см больше высоты; равенство h=l неверно при R≠r.
8. h=√(l²−(R−r)²)=√(169−25)=12 см. Образующая 13 см больше высоты; равенство h=l неверно при R≠r.
9. h=√(l²−(R−r)²)=√(169−144)=5 см. Образующая 13 см больше высоты; равенство h=l неверно при R≠r.
10. h=√(l²−(R−r)²)=√(289−64)=15 см. Образующая 17 см больше высоты; равенство h=l неверно при R≠r.
11. l=65π/[π(8+5)]=5 см; h=√(25−(8−5)²)=4 см. Площадь имеет размерность см², объём — см³; подмена формул неверна.
12. l=195π/[π(10+5)]=13 см; h=√(169−(10−5)²)=12 см. Площадь имеет размерность см², объём — см³; подмена формул неверна.
13. Разность радиусов R−r=7 см больше l=5 см. Тогда h²=5²−7²=−24 см², действительной высоты нет. Для h>0 необходимо l>R−r (при R>r). Данные противоречат геометрии.

Три пути решения — не одна формула. По объёму вычисляют h непосредственно. По образующей используют прямоугольный треугольник осевого сечения. По боковой поверхности первоначально извлекают l, после чего переходят к h. Если условия одновременно задают V и Sбок, оба способа должны дать одно и то же положительное h; иначе входные данные противоречат друг другу.

Частая ошибка — забыть смешанный член Rr в объёмной формуле или подменить разность R−r суммой радиусов в теореме Пифагора. Чтобы исправить это, мысленно соедините соответствующие точки на двух окружностях в осевом сечении: горизонтальный катет равен разности радиусов, вертикальный — высоте, наклонный — образующей. Результат всегда проверяйте исходными данными, а не только калькулятором.