Определение вероятности по таблице при нескольких одинаковых исходах — диагностика ошибок, 11 класс

Класс: 11. Цель: находить скрытый повторный счёт при объединении одинаковых результатов в таблице и исправлять ошибочную вероятность.

В одной строке таблицы могут скрываться несколько элементарных исходов с одинаковым числовым результатом. Если исходы равновозможны, вероятность значения — это его частота, делённая на число всех исходов, а не единица, делённая на число различных строк.

Памятка перед вычислением

Например, если на шести равновозможных карточках записаны 1, 1, 2, 2, 2, 5, то P(X = 2) = 3/6 = 1/2, хотя различных значений только три. Ошибка — заменить частоты утверждением, что каждое из трёх значений имеет вероятность 1/3.

Табличный практикум: найдите ошибку счёта

1. Фишки в закрытом мешке. Найдите P(X = 2).
   

   Значение	Число элементарных исходов
   1	1
   2	2
   3	3
   4	2

2. Цифры на одинаковых карточках. Найдите вероятность X ≥ 3.
   

   Значение	Число элементарных исходов
   0	2
   1	3
   2	1
   3	3

3. Очки после вращения сектора. Найдите P(X = 4).
   

   Значение	Число элементарных исходов
   2	2
   4	3
   6	2
   8	1

4. Номера одинаковых жетонов. Найдите вероятность X ≠ 5.
   

   Значение	Число элементарных исходов
   1	3
   2	2
   5	4
   6	1

5. Баллы в лотерее класса. Найдите P(X = 0).
   

   Значение	Число элементарных исходов
   -2	2
   0	3
   1	2
   3	1

6. Записи в таблице испытаний. Ученик считает вероятность X = 2 равной 1/4. Найдите верное значение и объясните ошибку.
   

   Значение	Число элементарных исходов
   1	1
   2	3
   3	2
   4	1

7. Выпавшие значения датчика. Найдите вероятность X ≠ 7.
   

   Значение	Число элементарных исходов
   5	2
   6	2
   7	3
   8	2

8. Цифры на 12 билетах. Найдите вероятность X ≥ 2.
   

   Значение	Число элементарных исходов
   0	3
   1	4
   2	3
   3	2

Продолжение: объединённые события и противоречия

9. Число верных ответов. Найдите P(X = 3).
   

   Значение	Число элементарных исходов
   1	2
   2	3
   3	2
   4	3

10. Баллы двух цветов. Ученик считает вероятность X = -1 равной 1/3. Найдите верное значение и объясните ошибку.
    

    Значение	Число элементарных исходов
    -1	3
    0	2
    2	4

11. Условные коды. Найдите P(X = 20).
    

    Значение	Число элементарных исходов
    10	2
    20	4
    30	2

12. Проверочные жетоны. Найдите вероятность X ≠ 3.
    

    Значение	Число элементарных исходов
    1	2
    2	1
    3	2
    4	5

13. Число попаданий. Найдите вероятность X ≥ 2.
    

    Значение	Число элементарных исходов
    0	1
    1	3
    2	3
    3	2

14. Повторные показания. Ученик считает вероятность X = 7 равной 1/3. Найдите верное значение и объясните ошибку.
    

    Значение	Число элементарных исходов
    4	3
    5	2
    7	4

15. Таблица равновозможных исходов. Найдите P(X = 6).
    

    Значение	Число элементарных исходов
    2	3
    3	2
    6	4
    9	1

16. Фишки перед олимпиадой. Найдите вероятность X ≠ 0.
    

    Значение	Число элементарных исходов
    0	3
    1	1
    2	4
    3	4

Ключ ответов и пояснения

1. № 1. Значение 2 появляется в 2 из 8 равновозможных исходов. P = 1/4.
2. № 2. Сумма частот значений не меньше 3 равна 3; P = 1/3.
3. № 3. Значение 4 появляется в 3 из 8 равновозможных исходов. P = 3/8.
4. № 4. Исключаем 4 подходящих по значению исходов, остаётся 6 из 10. P = 3/5.
5. № 5. Значение 0 появляется в 3 из 8 равновозможных исходов. P = 3/8.
6. № 6. Значение 2 появляется в 3 из 7 равновозможных исходов. P = 3/7. Доля 1/4 ошибочна: строки с разными результатами не обязаны иметь одинаковую вероятность.
7. № 7. Исключаем 3 подходящих по значению исходов, остаётся 6 из 9. P = 2/3.
8. № 8. Сумма частот значений не меньше 2 равна 5; P = 5/12.
9. № 9. Значение 3 появляется в 2 из 10 равновозможных исходов. P = 1/5.
10. № 10. Значение -1 появляется в 3 из 9 равновозможных исходов. P = 1/3. Доля 1/3 ошибочна: строки с разными результатами не обязаны иметь одинаковую вероятность.
11. № 11. Значение 20 появляется в 4 из 8 равновозможных исходов. P = 1/2.
12. № 12. Исключаем 2 подходящих по значению исходов, остаётся 8 из 10. P = 4/5.
13. № 13. Сумма частот значений не меньше 2 равна 5; P = 5/9.
14. № 14. Значение 7 появляется в 4 из 9 равновозможных исходов. P = 4/9. Доля 1/3 ошибочна: строки с разными результатами не обязаны иметь одинаковую вероятность.
15. № 15. Значение 6 появляется в 4 из 10 равновозможных исходов. P = 2/5.
16. № 16. Исключаем 3 подходящих по значению исходов, остаётся 9 из 12. P = 3/4.

Самопроверка

В каждом задании проверьте три вещи: общий знаменатель получен как сумма частот, числитель отражает именно поставленное событие, а ответ принадлежит промежутку от 0 до 1. Не путайте выбор строки таблицы с выбором реальной карточки.

Почему одинаковые результаты нельзя считать один раз

Предположим, результаты записаны по числовым значениям. У некоторых значений несколько разных билетов, но при переносе в итоговую таблицу они объединены одной строкой. Например, значение 6 может соответствовать четырём жетонам, а значение 9 — только одному. Если выбирается жетон, а не уникальная запись в таблице, вероятности этих событий неодинаковы. Поэтому перед каждым делением требуется определить, что является элементарным исходом.

В задачах 1–5 полезно подчёркивать все физические билеты, удовлетворяющие условию события. В задачах с неравенством, например X ≥ 2, подчёркивать следует сразу несколько значений: затем их частоты складываются. Для дополнения X ≠ 2 удобнее вычесть вероятность события X = 2 из единицы; обе процедуры должны дать один ответ. Это одновременно проверка вычислений и логики решения.

Диагностика трёх неверных подходов

Ошибка первая: «В таблице четыре строки, значит вероятность каждого значения 1/4». В действительности это верно только при равных частотах строк. Сверьте все кратности и назовите исходы, которые попали в одну строку. Ошибка вторая: «Для события X ≥ a достаточно одной строки X = a». Необходимо учесть все строки со значением больше a. Ошибка третья: «Частоту успешных результатов можно делить на число различных значений». Делить требуется на полное количество элементарных исходов.

Как объяснять ответ словами

Развёрнутый ответ состоит из четырёх смысловых частей: указать число всех равновозможных исходов, перечислить подходящие значения, сложить их частоты и записать отношение подходящих исходов к общему количеству. Запись «вероятность равна 0,4» без указания знаменателя хуже объясняет, почему таблица прочитана правильно. Если исходы в реальной задаче различаются по вероятности, частоты равновозможных жетонов применять нельзя: нужно сложить именно вероятности отдельных исходов.