Определение вероятности по таблице при сравнении двух стратегий — упражнения разной сложности, 11 класс

Класс: 11. Цель: корректно сравнивать вероятность успеха двух стратегий по отдельным знаменателям и проверять вывод обратным счётом.

Школьники выбирают между двумя способами подготовки к контрольной. Таблица показывает результаты предыдущих попыток: все исходы внутри каждого способа учитываются, а вероятность оценивается относительной частотой успеха. Число удач само по себе не доказывает преимущество, если число попыток отличается.

Разобранный пример и обратная проверка

У второго плана успешных случаев больше, но вероятность выше у первого: 3/4 > 17/25. Обратная проверка: умножаем долю на количество испытаний и получаем исходные 12 и 17. Нельзя делить успехи обеих групп на общую сумму 41: события относятся к разным условным выборкам.

Уровень I: сравнение по относительным частотам

1. Ситуация 1: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	18	30
   B	28	50

2. Ситуация 2: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	21	35
   B	30	48

3. Ситуация 3: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	12	20
   B	17	25

4. Ситуация 4: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу. Найдите, сколько успехов ожидалось бы в 100 применениях каждого метода при сохранении долей.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	28	40
   B	22	32

5. Ситуация 5: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	32	50
   B	27	45

6. Ситуация 6: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	37	60
   B	29	45

Уровень II: разоблачение ложного сравнения

7. Ситуация 7: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	14	24
   B	17	30

8. Ситуация 8: два способа решения задачи. Сравните вероятности успеха двух методов по данным таблицы; вычислите разницу.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	25	36
   B	37	54

9. Ситуация 9: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам. Найдите, сколько успехов ожидалось бы в 100 применениях каждого метода при сохранении долей.
   

   Метод	Успех	Всего попыток
   A	38	64
   B	29	48

10. Ситуация 10: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	41	70
    B	32	50

11. Ситуация 11: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	26	42
    B	24	40

12. Ситуация 12: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	15	28
    B	20	35

Уровень III: проверка устойчивости вывода

13. Ситуация 13: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	33	55
    B	39	65

14. Ситуация 14: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	35	48
    B	42	60

15. Ситуация 15: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам. Найдите, сколько успехов ожидалось бы в 100 применениях каждого метода при сохранении долей.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	19	40
    B	24	48

16. Ситуация 16: два способа решения задачи. Проверьте вывод «больше удач — лучше стратегия» по относительным частотам.
    

    Метод	Успех	Всего попыток
    A	44	72
    B	29	44

Подробный ключ с обратной проверкой

1. № 1. P(A) = 18/30 = 3/5, P(B) = 28/50 = 14/25. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/25 (или 4 процентного пункта).
2. № 2. P(A) = 21/35 = 3/5, P(B) = 30/48 = 5/8. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/40 (или 2,5 процентного пункта).
3. № 3. P(A) = 12/20 = 3/5, P(B) = 17/25 = 17/25. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 2/25 (или 8 процентного пункта).
4. № 4. P(A) = 28/40 = 7/10, P(B) = 22/32 = 11/16. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/80 (или 1,25 процентного пункта). На 100 попыток ориентир: A — 70, B — 68,75 ожидаемых успехов; это среднее, не гарантия.
5. № 5. P(A) = 32/50 = 16/25, P(B) = 27/45 = 3/5. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/25 (или 4 процентного пункта).
6. № 6. P(A) = 37/60 = 37/60, P(B) = 29/45 = 29/45. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/36 (или 2,78 процентного пункта).
7. № 7. P(A) = 14/24 = 7/12, P(B) = 17/30 = 17/30. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/60 (или 1,67 процентного пункта).
8. № 8. P(A) = 25/36 = 25/36, P(B) = 37/54 = 37/54. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/108 (или 0,93 процентного пункта).
9. № 9. P(A) = 38/64 = 19/32, P(B) = 29/48 = 29/48. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/96 (или 1,04 процентного пункта). На 100 попыток ориентир: A — 59,38, B — 60,42 ожидаемых успехов; это среднее, не гарантия.
10. № 10. P(A) = 41/70 = 41/70, P(B) = 32/50 = 16/25. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 19/350 (или 5,43 процентного пункта).
11. № 11. P(A) = 26/42 = 13/21, P(B) = 24/40 = 3/5. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 2/105 (или 1,9 процентного пункта).
12. № 12. P(A) = 15/28 = 15/28, P(B) = 20/35 = 4/7. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/28 (или 3,57 процентного пункта).
13. № 13. P(A) = 33/55 = 3/5, P(B) = 39/65 = 3/5. Доли одинаковы. Разность по модулю: 0 (или 0 процентного пункта).
14. № 14. P(A) = 35/48 = 35/48, P(B) = 42/60 = 7/10. Метод A имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 7/240 (или 2,92 процентного пункта).
15. № 15. P(A) = 19/40 = 19/40, P(B) = 24/48 = 1/2. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 1/40 (или 2,5 процентного пункта). На 100 попыток ориентир: A — 47,5, B — 50 ожидаемых успехов; это среднее, не гарантия.
16. № 16. P(A) = 44/72 = 11/18, P(B) = 29/44 = 29/44. Метод B имеет большую наблюдаемую долю. Разность по модулю: 19/396 (или 4,8 процентного пункта).

Интерпретация наблюдений

Сравнение долей описывает имеющиеся данные. Оно не доказывает, что метод объективно причинно лучше: объёмы и условия испытаний отличаются, возможны случайные колебания и неучтённые факторы. При равенстве долей не следует утверждать, что дальнейшие результаты обязательно совпадут. Повторите расчёты на новых данных, прежде чем делать практический вывод.

Обратная проверка: что скрывается за разницей процентов

Успехи двух групп часто имеют разные знаменатели. Двадцать удач из двадцати пяти испытаний — это 80 %, а тридцать из пятидесяти — 60 %. Считать только число удач значит фактически игнорировать неуспехи. Обратная проверка возвращает исходную таблицу: если наблюдаемая вероятность равна 4/5, а попыток было 25, произведение (4/5)·25 даёт двадцать успешных исходов. Аналогично 0,6·50 даёт тридцать. После такого восстановления легко увидеть неверное сравнение по абсолютному количеству удач.

Разность вероятностей принято выражать в процентных пунктах. Разница 80 % и 60 % составляет двадцать процентных пунктов, а не «двадцать процентов от первого показателя». Если нужно узнать относительное преимущество одного результата над другим, вопрос обязан уточнить базу сравнения; просто вычесть проценты недостаточно. В ключах к упражнениям приведены именно разности вероятностей в процентных пунктах.

Почему нельзя перемешивать две таблицы

Если при использовании метода A было 21 успешное решение из 35, вероятность оценивается как 21/35. При методе Б с 30 удачами из 48 — как 30/48. Дробь (21 + 30)/(35 + 48) оценивает общую частоту для смешанного набора, но не вероятность успеха отдельно при методе А или Б. Она не отвечает на вопрос, какая стратегия предпочтительнее. Особенно важно не допустить этого при проверке данных с разными размерами выборок.

Как читать спорные результаты

Сначала найдите показатель каждой группы отдельно. Затем сравните полученные доли, лучше приведя их к общему знаменателю: равенство или неравенство дробей не требует преждевременного округления до сотых. Если результат близок, укажите величину разницы, а не пишите безоговорочное «один способ намного лучше». После этого выполните обратную проверку умножением частоты на объём группы. Только последний шаг — интерпретация того, что данные говорят о вероятности успеха в будущей попытке.

Полученные здесь доли — оценки по прошлым попыткам. Например, различия могут быть связаны с трудностью конкретных задач, уровнем учеников или случайными колебаниями. Сравнение не устанавливает причинное превосходство одного способа. В самостоятельной работе не требуется сложных методов статистического вывода; важно не превращать наблюдаемую долю в гарантированный результат будущего испытания.