Построение целевой функции при ограничении на суммарные ресурсы: диагностика ошибок, 11 класс

11 класс · оптимизация · ограниченные ресурсы и стоимость решений

Учебный маршрут посвящён не вычислению максимума вслепую, а построению правильной целевой функции. Производство двух видов изделий обозначим x и y. Каждое изделие расходует разное количество сырья и времени. Неравенства ограничивают ресурсы, а целевая функция выражает выбранный показатель — прибыль, расход или выпуск. Нельзя объявлять ограничение «прибылью» только потому, что оно стоит первым в условии.

Шаг 1. Лёгкий старт: обнаружьте подмену

Для таблицы верная система: 4x+2y≤64; 3x+4y≤68; x≥0, y≥0. При количестве изделий целыми штуками x,y — неотрицательные целые. Цель максимизировать P(x,y)=10x+9y. Если вычисления ведутся по вещественным x,y, это непрерывная модель и её результат при необходимости надо проверить на целочисленность.

Шаг 2. Развилка «ошибка или верно»

Шаг 3. Подстановка, пересечение границ, новые данные

Выходная диагностика

Проверяйте модель в одном и том же порядке: определите переменные и их единицы; запишите функцию цели; переведите слова «не более», «не менее» и «ровно» в неравенства или равенства; добавьте неотрицательность и, если требуется, целочисленность; затем проверьте кандидатный план по каждой строке условий. Если цель и ограничение выглядят одинаково, вернитесь к экономическому смыслу коэффициентов.

Шаг 4. Почему границы ограничений не являются целевыми функциями

Рассмотрим первую таблицу как систему двух ограничений. Прямая 4x+2y=64 образует границу сырьевого запаса, а прямая 3x+4y=68 — границу трудового времени. Область допустимых решений лежит в первом квадранте под обеими прямыми. При непрерывных переменных угловые точки этой области: (0;0), (16;0), (12;8), (0;17). Для каждой точки вычислим прибыль P=10x+9y: соответственно 0, 160, 192 и 153 условные единицы. Значит, в непрерывной модели максимум равен 192, в точке (12;8). Здесь повезло, что обе координаты целые, поэтому тот же план допустим для производства целых изделий.

Для поиска максимума линейной функции на многоугольной области достаточно проверить вершины: на отрезке линейная функция не может иметь строго больший внутренний максимум, чем на его концах. Но этот приём работает только после построения корректной области. Если неверно поменять знак неравенства, забыть ограничение x≥0 или подставить выручку вместо прибыли, получается другая задача, даже если арифметика в дальнейшем безошибочна. Поэтому логическая проверка модели должна предшествовать вычислительной.

Запас сырья измеряется в единицах сырья, время — в часах, прибыль — в условных денежных единицах. Складывать 4x+2y и 3x+4y как одно числовое ограничение нельзя без единых весов или отдельного условия, объясняющего перевод единиц. Если задачи изначально имеют две строки ресурсов, сохраняйте их как два неравенства. Иначе вы можете случайно допустить производство, которое экономит сырьё, но требует больше рабочих часов, чем имеется.