Выбор модели для набора данных для таблицы с отрицательными входами: диагностика ошибок, 8 класс

Класс: 8. Цель: исправлять ошибки выбора модели в таблицах с отрицательными аргументами.

Отрицательное значение x не означает отрицательного y. При возведении отрицательного числа в квадрат сначала выполняют умножение: (−3)² = 9, но −3² = −9. Модель ищут по всем строкам таблицы, а не по одной удачно совпавшей точке. В ответах сделана обратная подстановка, чтобы найденная формула действительно воспроизводила исходные данные.

Разобранная ошибка: неверный знак при x = −2

Даны x = −2, −1, 0, 1, 2 и y = 7, 4, 3, 4, 7. В записи ученика стоит y = −x² + 3. При x = −2 она даёт −4 + 3 = −1, а не 7. Исправление: y = x² + 3. Тогда при x = −2 значение равно 4 + 3 = 7; обе стороны от нуля проверяются одинаково.

Изменённое условие: если вместо 7, 4, 3, 4, 7 получены 1, 4, 5, 4, 1, то подойдёт y = 5 − x²: парабола может быть направлена вниз. Проверка при x = ±2 даёт 1.

Задачи с изменёнными условиями

Работайте без калькулятора в первой колонке: проверяйте знак при отрицательном x. Для линейных случаев коэффициент a равен нулю; для квадратичных — отличен от нуля.

1. Случай 1: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 6, 3, 2, 3, 6. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

2. Случай 2: x = -3, -2, -1, 0, 1; y = 14, 5, 0, -1, 2. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

3. Случай 3: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 3, 6, 7, 6, 3. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

4. Случай 4: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 8, 5, 2, -1, -4. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

5. Случай 5: x = -1, 0, 1, 2, 3; y = 6, 1, -2, -3, -2. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

6. Случай 6: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 12, 4, 0, 0, 4. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

7. Случай 7: x = -3, -2, -1, 0, 1; y = 2, 0, 0, 2, 6. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

8. Случай 8: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = -7, 1, 5, 5, 1. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

9. Случай 9: x = -3, -2, -1, 0, 1; y = -9, -5, -1, 3, 7. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

10. Случай 10: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 8, -1, -4, -1, 8. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

11. Случай 11: x = -2, -1, 0, 1, 2; y = 5, 0, -3, -4, -3. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

12. Случай 12: x = -3, -2, -1, 0, 1; y = 3, 6, 7, 6, 3. Выберите модель вида ax² + bx + c или bx + c. Найдите коэффициенты и подтвердите строку с самым отрицательным x.

13. Ученик заметил, что y(−2) = y(2) и заключил: «любая такая функция обязательно y = x²». Почему это неверно? Приведите два других варианта.

14. Известно, что y = ax² + bx + c, и y(−1) = 8, y(0) = 3, y(1) = 2. Восстановите формулу и подставьте −2.

15. В таблице y = x² − 4x при x = −2, −1, 0, 1 правильные значения 12, 5, 0, −3. Ученик записал для x = −1 значение −3. Назовите конкретную ошибку.

16. Две формулы y = x² − 1 и y = −x² + 7 обе дают 3 при x = 2. Как выбрать одну, имея дополнительную строку x = −3, y = 8?

Обратная проверка: решения всех 16 заданий

1. Получаем a = 1, b = 0, c = 2; модель квадратичная: y = 1x² + 0x + 2. При x = -2: 1·(-2)² + (0)·(-2) + (2) = 6; при x = 2 — 6. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 0x.

2. Получаем a = 2, b = 1, c = -1; модель квадратичная: y = 2x² + 1x − 1. При x = -3: 2·(-3)² + (1)·(-3) + (-1) = 14; при x = 1 — 2. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 1x.

3. Получаем a = -1, b = 0, c = 7; модель квадратичная: y = -1x² + 0x + 7. При x = -2: -1·(-2)² + (0)·(-2) + (7) = 3; при x = 2 — 3. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 0x.

4. Получаем a = 0, b = -3, c = 2; модель линейная: y = 0x² − 3x + 2. При x = -2: 0·(-2)² + (-3)·(-2) + (2) = 8; при x = 2 — -4. Ошибка: объявлять модель квадратичной только потому, что встречаются отрицательные числа.

5. Получаем a = 1, b = -4, c = 1; модель квадратичная: y = 1x² − 4x + 1. При x = -1: 1·(-1)² + (-4)·(-1) + (1) = 6; при x = 3 — -2. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое -4x.

6. Получаем a = 2, b = -2, c = 0; модель квадратичная: y = 2x² − 2x + 0. При x = -2: 2·(-2)² + (-2)·(-2) + (0) = 12; при x = 2 — 4. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое -2x.

7. Получаем a = 1, b = 3, c = 2; модель квадратичная: y = 1x² + 3x + 2. При x = -3: 1·(-3)² + (3)·(-3) + (2) = 2; при x = 1 — 6. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 3x.

8. Получаем a = -2, b = 2, c = 5; модель квадратичная: y = -2x² + 2x + 5. При x = -2: -2·(-2)² + (2)·(-2) + (5) = -7; при x = 2 — 1. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 2x.

9. Получаем a = 0, b = 4, c = 3; модель линейная: y = 0x² + 4x + 3. При x = -3: 0·(-3)² + (4)·(-3) + (3) = -9; при x = 1 — 7. Ошибка: объявлять модель квадратичной только потому, что встречаются отрицательные числа.

10. Получаем a = 3, b = 0, c = -4; модель квадратичная: y = 3x² + 0x − 4. При x = -2: 3·(-2)² + (0)·(-2) + (-4) = 8; при x = 2 — 8. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое 0x.

11. Получаем a = 1, b = -2, c = -3; модель квадратичная: y = 1x² − 2x − 3. При x = -2: 1·(-2)² + (-2)·(-2) + (-3) = 5; при x = 2 — -3. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое -2x.

12. Получаем a = -1, b = -2, c = 6; модель квадратичная: y = -1x² − 2x + 6. При x = -3: -1·(-3)² + (-2)·(-3) + (6) = 3; при x = 1 — 3. Ошибка: считать значение x² отрицательным при x < 0 или забыть слагаемое -2x.

13. Равные значения при противоположных аргументах означают симметрию относительно нуля только для проверенной пары. Например, y = 3x² + 1 даёт 13 на обоих концах; y = 5 даёт 5. Обобщение до x² необоснованно.

14. Из x = 0 имеем c = 3. Из x = −1: a − b = 5; из x = 1: a + b = −1; значит a = 2, b = −3. Формула y = 2x² − 3x + 3, при x = −2: 8 + 6 + 3 = 17.

15. Нужно учитывать оба отрицательных множителя в −4·(−1) = +4. Верный результат 1 + 4 = 5. Значение −3 относится к x = 1: 1 − 4 = −3.

16. Подстановка x = −3: первая даёт 9 − 1 = 8, вторая −9 + 7 = −2. Поэтому подходит первая. Одна совпадающая точка не определяет модель.

Диагностика: ошибочная строка бывает следствием неверного возведения в квадрат, неверной операции с отрицательным числом или выбора модели по недостаточным данным. Исправьте именно причину ошибки: повторное переписывание таблицы без подстановки не является проверкой.