Восстановление номера члена при отрицательной разности: карточки с ответами, 9 класс

Класс: 9. Цель: восстанавливать номер члена убывающей арифметической прогрессии и проверять, что индекс натуральный.

Смотрим на отрицательную разность d: каждый следующий член меньше предыдущего на |d|. Формула aₙ = a₁ + (n − 1)d верна и при d < 0; выразив n, получаем n = 1 + (aₙ − a₁)/d. Результат обязан быть положительным целым числом. Если получается 4,5 или −2, заданного члена при n = 1, 2, 3, … нет.

Исследуем убывающую последовательность

Наблюдение: разность d = 35 − 41 = −6. Для числа 17 решение уравнения 17 = 41 − 6(n − 1) даёт −24 = −6(n − 1), поэтому n − 1 = 4 и n = 5. Контрпример: число 20 не является членом этой прогрессии, поскольку n = 1 + (20 − 41)/(−6) = 4,5. Оно расположено между четвёртым и пятым членами, но своего целого номера не имеет.

Проверка специального случая: если целевой член больше a₁, а d < 0, номер n ≥ 1 невозможен. Приведённая формула выдаст n < 1; это полезная быстрая оценка перед делением.

Почему формула работает и где чаще ошибаются

Когда d отрицательна, каждый следующий шаг уменьшает значение на фиксированное число. Если известны первый член и искомое значение, разность aₙ − a₁ равна сумме n − 1 одинаковых отрицательных изменений. Поэтому количество переходов равно (aₙ − a₁)/d, а номер на единицу больше количества переходов. Именно эта единица особенно часто теряется в самостоятельной работе.

Иногда деление на два отрицательных числа даёт положительный ответ, что кажется неожиданным. Например, от 27 до −3 при d = −5 нужно пройти шесть шагов: (−3 − 27)/(−5) = 6. Седьмой член действительно равен −3. Напротив, отрицательное значение выражения (aₙ − a₁)/d означает попытку «вернуться назад» раньше первого члена и не даёт допустимого положительного номера.

Чтобы проверить ответ без повторного решения, подставьте найденное n в исходную формулу. Совпадение целевого числа ещё не всё: отдельно убедитесь, что n натуральное и что d действительно отрицательна. Если исходная прогрессия описывает, например, остаток материалов после каждого дня, отрицательные члены могут быть недопустимы по смыслу задачи; в таких контекстах вводят ещё и ограничение на значения, но в этих арифметических карточках исследуется сама последовательность целых чисел.

Нельзя использовать десятичное приближение вместо точной дроби: результат n = 5,999 в вычислителе не следует округлять до 6, если исходные данные точные. Упростите дробь точно и лишь затем решайте, целый ли номер. Проверьте также случай aₙ = a₁: это всегда первый член, n = 1, поскольку при d < 0 последующие члены строго меньше.

Полезен дополнительный мысленный контроль без формулы. Если разность равна −4, то значения меняются на четыре единицы: 50, 46, 42, 38 и так далее. Число 39 не удастся получить никаким числом полных шагов, хотя оно находится вблизи 38. Именно поэтому проверка целочисленности — математическое условие, а не условность оформления ответа. Когда получен большой номер, достаточно проверять формулу, а не выписывать десятки предыдущих членов. При решении следите, чтобы знак минус стоял перед всей разностью, а не только перед одним слагаемым.

Пятнадцать карточек: восстановите номер члена

1. Задание 1. a₁ = 58, d = -4; известно, что aₙ = 22. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

2. Задание 2. a₁ = 27, d = -5; известно, что aₙ = 2. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

3. Задание 3. a₁ = 90, d = -7; известно, что aₙ = 34. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

4. Задание 4. a₁ = 13, d = -3; известно, что aₙ = 1. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

5. Задание 5. a₁ = 46, d = -6; известно, что aₙ = 10. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

6. Задание 6. a₁ = 101, d = -9; известно, что aₙ = 11. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

7. Задание 7. a₁ = 25, d = -2; известно, что aₙ = 3. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

8. Задание 8. a₁ = 72, d = -8; известно, что aₙ = 48. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

9. Задание 9. a₁ = 19, d = -4; известно, что aₙ = 11. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

10. Задание 10. a₁ = 8, d = -5; известно, что aₙ = -12. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

11. Задание 11. a₁ = 64, d = -3; известно, что aₙ = 22. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

12. Задание 12. a₁ = 0, d = -7; известно, что aₙ = -56. Найдите номер n и убедитесь подстановкой, что он натуральный.

13. Задание 13. a₁ = 30, d = −4, aₙ = 16. Найдите n или докажите отсутствие члена.

14. Задание 14. a₁ = 10, d = −3, aₙ = 16. Возможен ли такой член?

15. Задание 15. a₁ = −5, d = −6, aₙ = −35. Найдите номер и объясните знаки.

Решения с обратной проверкой

1. n = 1 + (22 − 58)/(-4) = 1 + (-36)/(-4) = 10. Обратная проверка: a_10 = 58 + (10 − 1)·(-4) = 22. Номер натуральный, искомый член существует.

2. n = 1 + (2 − 27)/(-5) = 1 + (-25)/(-5) = 6. Обратная проверка: a_6 = 27 + (6 − 1)·(-5) = 2. Номер натуральный, искомый член существует.

3. n = 1 + (34 − 90)/(-7) = 1 + (-56)/(-7) = 9. Обратная проверка: a_9 = 90 + (9 − 1)·(-7) = 34. Номер натуральный, искомый член существует.

4. n = 1 + (1 − 13)/(-3) = 1 + (-12)/(-3) = 5. Обратная проверка: a_5 = 13 + (5 − 1)·(-3) = 1. Номер натуральный, искомый член существует.

5. n = 1 + (10 − 46)/(-6) = 1 + (-36)/(-6) = 7. Обратная проверка: a_7 = 46 + (7 − 1)·(-6) = 10. Номер натуральный, искомый член существует.

6. n = 1 + (11 − 101)/(-9) = 1 + (-90)/(-9) = 11. Обратная проверка: a_11 = 101 + (11 − 1)·(-9) = 11. Номер натуральный, искомый член существует.

7. n = 1 + (3 − 25)/(-2) = 1 + (-22)/(-2) = 12. Обратная проверка: a_12 = 25 + (12 − 1)·(-2) = 3. Номер натуральный, искомый член существует.

8. n = 1 + (48 − 72)/(-8) = 1 + (-24)/(-8) = 4. Обратная проверка: a_4 = 72 + (4 − 1)·(-8) = 48. Номер натуральный, искомый член существует.

9. n = 1 + (11 − 19)/(-4) = 1 + (-8)/(-4) = 3. Обратная проверка: a_3 = 19 + (3 − 1)·(-4) = 11. Номер натуральный, искомый член существует.

10. n = 1 + (-12 − 8)/(-5) = 1 + (-20)/(-5) = 5. Обратная проверка: a_5 = 8 + (5 − 1)·(-5) = -12. Номер натуральный, искомый член существует.

11. n = 1 + (22 − 64)/(-3) = 1 + (-42)/(-3) = 15. Обратная проверка: a_15 = 64 + (15 − 1)·(-3) = 22. Номер натуральный, искомый член существует.

12. n = 1 + (-56 − 0)/(-7) = 1 + (-56)/(-7) = 9. Обратная проверка: a_9 = 0 + (9 − 1)·(-7) = -56. Номер натуральный, искомый член существует.

13. n = 1 + (16 − 30)/(−4) = 1 + 3,5 = 4,5. Индекс не целый; числа 16 в прогрессии нет: a₄ = 18, a₅ = 14.

14. Нет: при d < 0 каждый следующий член ≤ 10. Формула даёт n = 1 + 6/(−3) = −1, что не является допустимым номером.

15. n = 1 + (−35 − (−5))/(−6) = 1 + (−30)/(−6) = 6. Проверка: −5 + 5·(−6) = −35. Минус на минус при делении даёт плюс.

Самостоятельный вывод. Отрицательная разность означает убывание, но не означает отрицательный номер. Сначала вычислите дробь (aₙ − a₁)/d, затем прибавьте единицу; запрещено округлять дробный номер до ближайшего целого. Если n не является натуральным числом, честный ответ — «такого члена нет».