Восстановление номера члена по двум несоседним членам — диагностика ошибок, 9 класс

Класс: 9. Цель: по двум известным несоседним членам находить разность, первый член и номер заданного значения, выявлять типичные ошибки.

Для aₚ и a_q при q > p + 1 сначала находят d = (a_q − aₚ)/(q − p). Делитель — разность номеров, а не количество членов между ними. Затем a₁ = aₚ − (p − 1)d и n = 1 + (t − a₁)/d для целевого t. Если d = 0, номер по одному значению не восстанавливается однозначно; если n не натуральное целое, соответствующего члена нет.

Пять ошибок в чужих решениях

В каждом случае исправьте пропущенное или неверное действие; не ограничивайтесь пометкой «неправильно». Проверяйте оба исходных члена.

1. Дано a₃ = 12, a₈ = 27. Ученик разделил 15 на 4 (число членов между ними) и получил d = 3,75.

2. Дано a₄ = 25, a₁₀ = 7. Ученик записал d = +3, поскольку 25 − 7 = 18.

3. Дано a₅ = 14, a₉ = 26. Ученик принял a₅ за a₁ и нашёл номер числа 35 равным 8.

4. Дано a₂ = 18, a₆ = 6. Ученик вычислил для числа 10 дробный индекс и округлил его до n = 5.

5. Дано a₃ = 8, a₇ = 8. Ученик объявил d = 0 и назначил искомому числу 8 единственный номер 3.

Исправления пяти ошибок

1. Индексы отличаются на 8 − 3 = 5; d = (27 − 12)/5 = 3. Верно: a₈ = 12 + 5·3 = 27.

2. Разность направлена от a₄ к a₁₀: d = (7 − 25)/(10 − 4) = −3. Проверка: 25 + 6·(−3) = 7.

3. d = (26 − 14)/4 = 3; a₁ = 14 − 4·3 = 2. Для 35: n = 1 + (35 − 2)/3 = 12. Проверка a₁₂ = 2 + 11·3 = 35.

4. d = (6 − 18)/4 = −3; a₁ = 18 − (−3) = 21. n = 1 + (10 − 21)/(−3) = 14/3, а не целое; такого члена нет. Даже неверное 4,5 нельзя округлять.

5. d = 0 действительно, но тогда все члены равны 8, поэтому номер не единственный: подходят все натуральные n. Для любого другого значения номера нет.

Самостоятельная серия: десять новых ситуаций

Для каждой пары найдите d и a₁, затем номер значения t. Не рассчитывайте на «по рисунку видно»: восстановите линейное правило для номера и проверьте целевое значение обратной подстановкой.

1. Задача 6. a_2 = 11, a_6 = 31 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 231.

2. Задача 7. a_3 = 42, a_9 = 12 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 47.

3. Задача 8. a_4 = -4, a_8 = 20 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 200.

4. Задача 9. a_5 = 17, a_12 = -4 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 8.

5. Задача 10. a_2 = 25, a_7 = 5 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 17.

6. Задача 11. a_6 = -7, a_10 = 13 (номера не соседние). Определите номер члена, равного -7.

7. Задача 12. a_3 = 16, a_8 = -14 (номера не соседние). Определите номер члена, равного -32.

8. Задача 13. a_4 = 5, a_11 = 40 (номера не соседние). Определите номер члена, равного 15.

9. Задача 14. a_2 = 24, a_5 = 6 (номера не соседние). Определите номер члена, равного -72.

10. Задача 15. a_7 = -12, a_12 = 3 (номера не соседние). Определите номер члена, равного -27.

Ключ и проверка самостоятельной серии

1. d = (31 − (11))/(6 − 2) = 5. a₁ = 11 − (2 − 1)·(5) = 6. n = 1 + (231 − (6))/(5) = 46. Проверка: a_46 = 6 + (46 − 1)·(5) = 231.

2. d = (12 − (42))/(9 − 3) = -5. a₁ = 42 − (3 − 1)·(-5) = 52. n = 1 + (47 − (52))/(-5) = 2. Проверка: a_2 = 52 + (2 − 1)·(-5) = 47.

3. d = (20 − (-4))/(8 − 4) = 6. a₁ = -4 − (4 − 1)·(6) = -22. n = 1 + (200 − (-22))/(6) = 38. Проверка: a_38 = -22 + (38 − 1)·(6) = 200.

4. d = (-4 − (17))/(12 − 5) = -3. a₁ = 17 − (5 − 1)·(-3) = 29. n = 1 + (8 − (29))/(-3) = 8. Проверка: a_8 = 29 + (8 − 1)·(-3) = 8.

5. d = (5 − (25))/(7 − 2) = -4. a₁ = 25 − (2 − 1)·(-4) = 29. n = 1 + (17 − (29))/(-4) = 4. Проверка: a_4 = 29 + (4 − 1)·(-4) = 17.

6. d = (13 − (-7))/(10 − 6) = 5. a₁ = -7 − (6 − 1)·(5) = -32. n = 1 + (-7 − (-32))/(5) = 6. Проверка: a_6 = -32 + (6 − 1)·(5) = -7.

7. d = (-14 − (16))/(8 − 3) = -6. a₁ = 16 − (3 − 1)·(-6) = 28. n = 1 + (-32 − (28))/(-6) = 11. Проверка: a_11 = 28 + (11 − 1)·(-6) = -32.

8. d = (40 − (5))/(11 − 4) = 5. a₁ = 5 − (4 − 1)·(5) = -10. n = 1 + (15 − (-10))/(5) = 6. Проверка: a_6 = -10 + (6 − 1)·(5) = 15.

9. d = (6 − (24))/(5 − 2) = -6. a₁ = 24 − (2 − 1)·(-6) = 30. n = 1 + (-72 − (30))/(-6) = 18. Проверка: a_18 = 30 + (18 − 1)·(-6) = -72.

10. d = (3 − (-12))/(12 − 7) = 3. a₁ = -12 − (7 − 1)·(3) = -30. n = 1 + (-27 − (-30))/(3) = 2. Проверка: a_2 = -30 + (2 − 1)·(3) = -27.

Сводка ошибок: в знаменателе всегда q − p, направление разности определяет знак d, неизвестный первый член нельзя заменять одним из данных, нецелый n не округляют, при d = 0 единственности номера нет. Пять диагностических + десять новых заданий полностью проверяются по исходным парам.