Проверь себя: неполные квадратные уравнения вида ax²+c=0 — математика, 8 класс

Что нужно вспомнить

Эта работа для 8 класса проверяет именно уравнения вида ax² + c = 0, где a ≠ 0. Линейного слагаемого здесь нет: делить на x и искать дискриминант обычно не требуется. Ученик должен сначала выделить x², затем оценить знак правой части и только после этого записать корни.

На выполнение достаточно 20–25 минут. Удобно распечатать задания до раздела «Ключ и объяснения», а ответы оставить у учителя. В российской и казахстанской программах сроки изучения квадратных корней могут различаться; задания с √7 дайте после знакомства с арифметическим квадратным корнем.

• Из ax²+c=0 следует x²=−c/a.
• Если справа отрицательное число, действительных корней нет: квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
• Если справа ноль, один корень x=0. Если положительное число t, два противоположных корня: −√t и √t.

Проверка готовности: три коротких вопроса

Решите пункты 1–3 без калькулятора. Рядом напишите причину, почему корней два, один или ни одного.

1. 2x² − 18 = 0. Сколько действительных корней? Найдите их, если они есть.
2. 3x² + 12 = 0. Сколько действительных корней? Найдите их, если они есть.
3. -4x² + 16 = 0. Сколько действительных корней? Найдите их, если они есть.

Карточка А — квадрат целого числа

Задания 4–8. Переносите свободный член, делите на коэффициент при x², не забывайте знак «±». В шестом примере ответ разрешается оставить с корнем.

4. Решите 5x² − 45 = 0; подставьте один из найденных корней обратно.
5. Решите -2x² − 8 = 0; подставьте один из найденных корней обратно.
6. Решите x² − 7 = 0; подставьте один из найденных корней обратно.
7. Решите 9x² − 1 = 0; подставьте один из найденных корней обратно.
8. Решите -3x² + 27 = 0; подставьте один из найденных корней обратно.

Карточка Б — внимательность к знаку

Задания 9–13. Среди уравнений есть такие, у которых действительных корней нет, а также граничный случай с нулём. Не угадывайте по виду коэффициента: сначала получите x²=t.

9. 4x² + 25 = 0. Запишите промежуточное равенство x²=t и окончательный вывод.
10. -5x² − 20 = 0. Запишите промежуточное равенство x²=t и окончательный вывод.
11. 8x² − 2 = 0. Запишите промежуточное равенство x²=t и окончательный вывод.
12. -2x² + 50 = 0. Запишите промежуточное равенство x²=t и окончательный вывод.
13. 7x² = 0. Запишите промежуточное равенство x²=t и окончательный вывод.

Карточка В — итоговая самостоятельная

Задания 14–16. Сделайте три шага: приведите к x²=t; определите число корней; проверьте ответ подстановкой. Учитель может оценить каждый пункт в 2 балла: один за преобразование, один за верный вывод.

14. 6x² − 24 = 0.
15. -9x² − 36 = 0.
16. 2x² − 8 = 0.

Ключ и объяснения

Здесь нумерация сквозная для всех карточек, независимо от того, с какого номера начинается отдельный печатный список.

Проверка и разбор ошибок

Чтобы проверить найденный корень r, вычислите ar²+c: должно получиться ноль. Если записан только положительный корень при x²=t>0, потерян второй. Если при x²=−4 появился ответ «±2», ученик перепутал отрицательное число с положительным. Случай x²=0 отличается: числа +0 и −0 совпадают, поэтому корень один.

Самопроверка: отметьте, где неверно перенесли c, где ошиблись при делении на отрицательное a и где забыли число корней. Перерешите именно эти пункты. Для дифференциации: ученикам, которым сложно, разрешите опираться на таблицу квадратов от 1 до 10; уверенным предложите устно объяснить, почему −5x²−20=0 не имеет действительных корней.

Разбор трёх ситуаций, которые нельзя смешивать

Рассмотрим 2x²−18=0. После переноса получаем 2x²=18, затем x²=9. Числа −3 и 3 одинаково подходят, потому что их квадраты равны 9. Здесь нужны оба корня, даже если в условии стоит только один квадрат. Теперь рассмотрим 3x²+12=0: x²=−4. Ни 2, ни −2 не подходят, поскольку каждый квадрат равен положительному 4. Запись «x=±√−4» не является ответом среди действительных чисел в курсе 8 класса. В третьем случае 7x²=0 единственный корень ноль: нельзя считать +0 и −0 двумя разными значениями.

Обратите внимание на отрицательный коэффициент a. Например, −4x²+16=0 после деления на −4 даёт x²=4, поэтому корни ±2. Если забыть изменить знак при делении, ошибочный ответ «нет корней» возникнет даже при простом уравнении. Квадратный корень удобно проверять возведением в квадрат: (1/3)²=1/9, поэтому в 9x²−1=0 ответы ±1/3. Запись «±3» там неверна: 9·9−1 не равно нулю.

Как использовать карточки в классе и дома

Начните с трёх диагностических уравнений и попросите объяснить не только ответ, но и его количество. При двух ошибках в определении знака дайте карточку Б раньше карточки А: этот навык фундаментален. Не стоит начинать с вычисления корней, если ученик ещё не понимает, почему отрицательный квадрат невозможен. Для учеников, которые справились с первой попытки, предложите обратную задачу: придумать два уравнения ax²+c=0 с корнями ±4, например x²−16=0 и 3x²−48=0. У них разные коэффициенты, но одинаковое множество решений.

Родителю при домашней проверке достаточно попросить ребёнка вслух произнести три решения: «сначала выделяю x²», «проверяю знак», «нахожу оба корня либо обосновываю их отсутствие». Это не механическое правило ради галочки: порядок защищает от типичных ошибок с отрицательными коэффициентами и потерянным минусом. При печати ключ расположен в отдельном разделе и не должен попадать на лист ученика.