Карточки для 8 класса: решение квадратного уравнения разложением на множители

Модель: произведение двух множителей

Разложение на множители превращает квадратное уравнение в произведение, равное нулю. Например, x²−5x+6=(x−2)(x−3): два числа 2 и 3 в сумме дают 5, а в произведении 6. Отсюда (x−2)(x−3)=0, то есть x=2 или x=3. Метод особенно удобен, когда целые корни видны из коэффициентов, но иногда сначала нужно вынести общий числовой множитель.

Схема выбора: общий множитель → формула сокращённого умножения или группировка → два линейных множителя → нулевое произведение → проверка. Ученикам 8 класса полезно сначала попытаться разложить трёхчлен, а дискриминант использовать для проверки или при неудаче. Не каждое квадратное уравнение раскладывается на линейные множители с целыми коэффициентами.

Наблюдение перед практикой

Исследовательская карточка: что осталось неизменным?

В заданиях 1–5 сравните сумму и произведение корней с коэффициентами при x и свободным членом. Сначала решите уравнение, затем сформулируйте наблюдение. Для уравнения x²+px+q=0 с корнями u и v верно u+v=−p, uv=q; это полезная проверка разложения.

1. Разложите x² − 5x + 6 на множители и решите уравнение x² − 5x + 6 = 0.
2. Разложите x² + 7x + 12 на множители и решите уравнение x² + 7x + 12 = 0.
3. Разложите x² − x − 6 на множители и решите уравнение x² − x − 6 = 0.
4. Разложите x² + 2x − 15 на множители и решите уравнение x² + 2x − 15 = 0.
5. Разложите x² − 16 на множители и решите уравнение x² − 16 = 0.

Рабочие карточки: коэффициент при x² не равен единице

Задания 6–10. Проверьте, можно ли вынести общий множитель. Если коэффициент при x² отрицательный, вынесение минуса не меняет корней. Для каждого задания запишите хотя бы одно правильное разложение и оба корня.

6. 2x² − 10x + 12 = 0.
7. 3x² + 3x − 18 = 0.
8. 2x² + 5x + 2 = 0.
9. -x² + 5x − 6 = 0.
10. 4x² − 36 = 0.

Мини-тест: квадратные множители и кратный корень

Задания 11–15. Дважды совпадающий линейный множитель даёт один различный корень. Найдите корни и объясните, почему они совпали там, где образовался квадрат.

11. Решите разложением: x² − 8x + 16 = 0.
12. Решите разложением: x² + 6x + 9 = 0.
13. Решите разложением: 2x² − 3x − 2 = 0.
14. Решите разложением: 3x² − 12x + 12 = 0.
15. Решите разложением: x² + x − 20 = 0.

Итоговая самостоятельная на 5 примеров

Задания 16–20. Допускаются дробные корни; ответ давайте точно. Отдельно пометьте случай, когда удобнее сгруппировать члены, а не подбирать корни наугад.

16. 6x² + x − 2 = 0.
17. x² − 2x − 8 = 0.
18. 2x² + 7x + 3 = 0.
19. x² − 9x + 20 = 0.
20. x² − 3x − 10 = 0.

Самостоятельная проверка: ключ с разложениями

Как проверить без повторного решения

Раскройте скобки у своего произведения: должны вернуться исходные коэффициенты. Затем подставьте корни в исходный трёхчлен. Если получился один корень у (x−4)²=0, это не ошибка: корень 4 имеет кратность 2. Если множители оказались, например, (x−2)(x+3), корни 2 и −3, а не −2 и +3: знак при решении x−2=0 меняется.

Для работы в паре один ученик предлагает разложение, второй проверяет его раскрытием скобок. Для повышенного уровня объясните, почему 6x²+x−2=(3x+2)(2x−1), а коэффициенты при x² и свободный член действительно равны 6 и −2.

Почему подбирать множители бывает удобнее, чем сразу считать D

Для приведённого квадратного трёхчлена x²+px+q ищите числа u и v, сумма которых равна p, а произведение q. Тогда x²+px+q=(x+u)(x+v). Если q положительно, u и v одного знака; если q отрицательно — знаки разные. Например, для x²+x−20 требуется сумма 1 и произведение −20. Подходят 5 и −4, поэтому (x+5)(x−4)=0 и корни −5 и 4. Такая проверка на сумму и произведение часто быстрее случайного перебора.

Когда перед x² стоит не единица, одной пары чисел может быть недостаточно. Разберите 2x²+5x+2: ищем разложение (2x+1)(x+2). После раскрытия скобок получаем 2x²+4x+x+2, то есть исходный трёхчлен. Нули множителей: x=−1/2 и x=−2. Обратите внимание: записывать x=+1/2 только из-за положительного коэффициента в скобке — ошибка. Из 2x+1=0 следует именно отрицательное число.

Ещё один полезный пример — 6x²+x−2. Попробуйте разложить его группировкой: 6x²+4x−3x−2=2x(3x+2)−(3x+2)=(3x+2)(2x−1). Поэтому x=−2/3 или x=1/2. Проверка коэффициента при x: 4x−3x=x. Без такой проверки легко получить ошибочную среднюю часть и неправильное уравнение.

Самопроверка по трём признакам

После решения ученик должен уметь ответить на три вопроса. Во-первых, даёт ли раскрытие скобок весь исходный трёхчлен, включая коэффициент при x²? Во-вторых, каждое ли записанное значение x действительно обнуляет один из линейных множителей? В-третьих, сколько различных корней получилось? Если множители одинаковы, получается кратный корень; если разные и не имеют общего нуля, обычно два. Для 8 класса это достаточное объяснение без формального определения кратности.

Для домашней работы можно предложить проверять разложение в обратном порядке: сначала раскрыть скобки и только потом решить уравнение. Ученик увидит, почему уравнения x²−5x+6=0 и x²+5x+6=0 имеют совсем разные корни при одинаковом свободном члене. В качестве дополнительной рефлексии выберите один пункт с общим числовым множителем и один с дробным корнем. Сравните, в каком из них проверка была легче и почему.

Как проверить знак корня после разложения

При решении (x+5)(x−4)=0 важны не числа 5 и −4 в скобках, а условия обращения каждого множителя в ноль. Из x+5=0 следует x=−5; из x−4=0 следует x=4. Такой простой контроль избавляет от типичной перестановки знаков. Если трёхчлен имеет отрицательный старший коэффициент, например −x²+5x−6, можно вынести −1 и решить (x−2)(x−3)=0: корни 2 и 3 не меняются. Проверять их следует в исходном уравнении, а не только в преобразованном.

При получении двух одинаковых множителей, например (x+3)², нельзя писать два разных корня. Два совпадающих решения одной и той же линейной скобки дают одно значение переменной −3. В рабочей тетради допустимо отметить «двукратный корень», но для уровня задания достаточно написать «один различный корень». Если ответ получен подбором, предъявите хотя бы один шаг проверки раскрытием скобок: это отличает доказанное разложение от удачной догадки.