Карточка с объяснениями: дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами — 8 класс
Содержание статьи8 разделов
Памятка на полях рабочего листа
Для квадратного уравнения ax²+bx+c=0, где a ≠ 0, дискриминант D=b²−4ac. При D>0 есть два различных действительных корня; при D=0 — один различный корень; при D<0 — действительных корней нет. Коэффициенты берите вместе со знаками. В этой работе главное — безошибочно вычислить D и определить количество корней.
На заполнение двух серий отведите 15–20 минут. Ответы размещены после заданий; для учеников распечатайте первую часть. Если квадратный корень из D ещё не изучен, достаточно определить число корней по знаку дискриминанта.
Серия А — восемь уравнений
Заполните для каждого пункта графы a, b, c, D, «сколько действительных корней?». Записывайте подстановку с круглыми скобками, например D=(−6)²−4·1·8=4.
- x² − 6x + 8 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- 2x² + 4x + 2 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- 3x² + x + 5 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- -x² + 2x + 8 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- 5x² − 20 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- x² + 9 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- 2x² − 3x + 1 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
- 4x² + 4x + 1 = 0. Найдите дискриминант и число действительных корней.
Серия Б — шесть уравнений для независимой проверки
Ученик выполняет эту серию без подсказки. Особое внимание уделите нулевому коэффициенту b и отрицательному a: оба допустимы, если a не равен нулю.
- x² − 4x + 5 = 0.
- -2x² + 6x − 4 = 0.
- 7x² + 2x + 3 = 0.
- 3x² + 12x + 12 = 0.
- 2x² + x − 3 = 0.
- -3x² − 12 = 0.
Две контрольные мини-задачи
- В записи −x²+6x−1=0 назовите a, b, c и вычислите D. Объясните, почему нельзя считать a равным +1.
- В записи 9x²−12x+4=0 проверьте равенство D=0 и найдите корень по формуле −b/(2a).
Ключ учителю
| № | Коэффициенты | D | Число действительных корней |
|---|---|---|---|
| 1 | a=1, b=-6, c=8 | -6² − 4·(1)·(8) = 4 | 2 |
| 2 | a=2, b=4, c=2 | 4² − 4·(2)·(2) = 0 | 1 |
| 3 | a=3, b=1, c=5 | 1² − 4·(3)·(5) = -59 | 0 |
| 4 | a=-1, b=2, c=8 | 2² − 4·(-1)·(8) = 36 | 2 |
| 5 | a=5, b=0, c=-20 | 0² − 4·(5)·(-20) = 400 | 2 |
| 6 | a=1, b=0, c=9 | 0² − 4·(1)·(9) = -36 | 0 |
| 7 | a=2, b=-3, c=1 | -3² − 4·(2)·(1) = 1 | 2 |
| 8 | a=4, b=4, c=1 | 4² − 4·(4)·(1) = 0 | 1 |
| 9 | a=1, b=-4, c=5 | -4² − 4·(1)·(5) = -4 | 0 |
| 10 | a=-2, b=6, c=-4 | 6² − 4·(-2)·(-4) = 4 | 2 |
| 11 | a=7, b=2, c=3 | 2² − 4·(7)·(3) = -80 | 0 |
| 12 | a=3, b=12, c=12 | 12² − 4·(3)·(12) = 0 | 1 |
| 13 | a=2, b=1, c=-3 | 1² − 4·(2)·(-3) = 25 | 2 |
| 14 | a=-3, b=0, c=-12 | 0² − 4·(-3)·(-12) = -144 | 0 |
15. a=−1, b=6, c=−1; D=36−4·(−1)·(−1)=32, следовательно, два различных действительных корня. 16. a=9, b=−12, c=4; D=144−144=0, единственный корень x=12/18=2/3.
Ошибки, которые стоит обсудить
- В уравнении 3x²+x+5=0 выражение −4ac отрицательно: 1−60=−59.
- В уравнении −x²+2x+8=0 коэффициент a отрицательный; D=4+32=36.
- D=0 означает один различный действительный корень, хотя в факторизации он появляется два раза.
- Знак D позволяет определить число корней, но сам по себе не даёт их значения.
Проверка в парах: один ученик называет коэффициенты вслух, другой проверяет вычисление D. Оценивание: по 1 баллу за правильные коэффициенты, дискриминант и число корней в каждом пункте. Если ошибся в знаках, предложите переписать только выражения b²−4ac, не решая уравнения целиком.
Три образца записи коэффициентов со знаками
В уравнении x²−6x+8=0 коэффициенты a=1, b=−6, c=8. Значит, D=(−6)²−4·1·8=36−32=4; два действительных корня. Если написать вместо (−6)² число −36, ошибка возникнет ещё до вычитания произведения 4ac. Для квадратов отрицательных чисел обязательно используйте скобки.
Для 2x²+4x+2=0 получаем a=2, b=4, c=2. Тогда D=16−16=0 и действительный корень один. Можно проверить это иначе: разделите уравнение на 2 и получите (x+1)²=0. А в 3x²+x+5=0 имеем D=1−60=−59, поэтому действительных корней нет. Здесь численное значение D отрицательное, но сам коэффициент при x² положительный — знак a не является критерием наличия корней.
Быстрая самопроверка без калькулятора
Сначала оцените величины b² и 4ac. Если оба числа положительные и 4ac больше b², дискриминант отрицательный. Если a и c разных знаков, произведение 4ac отрицательно и D=b²−4ac обязательно положителен. Если b=0, формула упрощается до D=−4ac. Эти наблюдения полезны, но не подменяют запись вычисления там, где требуется полный разбор.
При работе в паре первый ученик выписывает коэффициенты, второй независимо считает D. Затем они меняются листами и проверяют вывод о количестве корней. Отдельно обсудите, почему 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным значениям D: именно равенство нулю указывает на один различный корень.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.