Умножение двух обыкновенных дробей: задания с ответами для 6 класса

6 класс · Распечатка для ученика · Числовая лаборатория: сначала гипотеза, затем опыт с дробями

Фамилия, имя: ____________________________________   Дата: ______________

Представьте, что две дроби — это две последовательные доли: сначала берут часть целого, затем часть полученного. Умножение удобно понимать именно как «доля от доли». Ученик сначала записывает прогноз (больше или меньше первого множителя), после чего вычисляет и сокращает результат.

Лаборатория № 1. Наблюдаем закономерность

В заданиях 1–6 вычислите произведение. Сначала поставьте возле каждого выражения знак «меньше» или «больше» относительно первого множителя. Затем проверьте предположение.

После таблицы ответьте устно: почему во всех шести примерах результат меньше первого множителя? Изменится ли это, если второй множитель равен 1?

Лаборатория № 2. Сокращение и вычислительная скорость

В заданиях 7–12 попробуйте заметить общие множители в числителях и знаменателях ещё до перемножения. Запишите и полное вычисление, и короткий способ для любых двух примеров.

7. 7/12 · 6/7 = ____________________
8. 11/15 · 5/22 = ____________________
9. 9/16 · 8/27 = ____________________
10. 2/5 · 15/16 = ____________________
11. 13/18 · 9/26 = ____________________
12. 5/14 · 21/25 = ____________________

Лаборатория № 3. Смысл результата

Для заданий 13–16 важно не только посчитать, но и описать словами, что означает найденная доля. Чертёж по желанию: прямоугольник, разделённый на равные части.

13. На полив отвели 2/3 всего запаса воды. К утру из этой доли использовали 3/5. Какая часть исходного запаса ушла на полив к утру?
14. В школьной оранжерее 7/8 площади заняты грядками, а 4/7 площади грядок — зеленью. Какую часть всей оранжереи занимает зелень?
15. Вычислите 3/5 · 5/6 и сравните результат с 1/2. Запишите знак сравнения.
16. Найдите произведение 4/9 · 3/8 и объясните, почему оно меньше 1/4.

Что можно заключить по результатам опытов

• В произведении положительных дробей имеет значение величина каждого множителя: множитель между 0 и 1 уменьшает результат.
• Сокращение до умножения помогает держать числа небольшими, но не меняет значение произведения.
• При решении практической задачи проверяйте, что результат выражен как доля именно первоначального целого.

Как провести числовую лабораторию на уроке

Работу удобно организовать в три этапа. Первый этап — прогноз без вычислений. Ученик смотрит на второй множитель и отвечает, станет ли результат меньше исходной дроби. Второй этап — собственно умножение: числители перемножаются между собой, знаменатели тоже. Третий этап — проверка результата сокращением и оценкой. Если в задании 2 вдруг получилась дробь больше 5/8, следует искать ошибку раньше, чем переходить дальше.

Убедитесь, что ребёнок различает два вопроса: «сколько составляют три пятых от двух третей?» и «какую часть целого занимает результат?». В первом случае деление целого на части происходит дважды. Поэтому правильный ответ выражен в долях первоначального целого. Схема с прямоугольником помогает увидеть это наглядно. Разделите его сначала на три равные полосы, закрасьте две, а затем выделите три пятых закрашенной области: останется шесть пятнадцатых, то есть две пятых всего прямоугольника.

Какие закономерности стоит обсудить

Обратите внимание: произведение 7/12 на 6/7 равно 1/2. Наличие семёрки одновременно в числителе и знаменателе позволяет сократить их до вычисления. Но сокращение — не отдельный вид действия, а удобная перестановка шагов: длинный путь 42/84 и короткий путь 1/2 дают одно число. Ученику полезно показать оба способа, а не просто дать готовый ответ из таблицы.

Для положительных правильных дробей от 0 до 1 действует правило уменьшения: каждая новая доля от прежней части не может быть больше самой прежней части. Но правило нельзя бездумно применять к любым числам. Если второй множитель равен единице, произведение не меняется. Если второй множитель больше единицы, произведение положительного числа увеличивается. В нашей лаборатории оба множителя во всех вычислительных опытах меньше единицы.

Сокращение дробей позволяет быстро понять, почему некоторые результаты просты. Например, 5/14 · 21/25 можно считать как 105/350, но гораздо надёжнее сначала сократить 5 и 25, а также 21 и 14. Получается 1/2 · 3/5 = 3/10. Если ребёнок получил другое число, попросите восстановить исходную запись, а не угадывать результат по ключу.

Самостоятельное объяснение вместо механического ответа

После заданий 13 и 14 предложите произнести полный ответ: не просто «две пятых», а «две пятых исходного запаса воды»; не просто «одна вторая», а «одна вторая площади всей оранжереи». Такое уточнение устраняет частую ошибку, при которой числитель и знаменатель вычислены верно, но долю относят к неверному целому.

Быстрая проверка занимает меньше минуты: выберите одно произведение, назовите приблизительную величину каждого множителя и оцените интервал для ответа. Только после этого сверяйте точную дробь. Такая проверка не доказывает равенства, зато обнаруживает ответы, невозможные по смыслу. В спорных случаях решите пример вторым способом: сначала перемножьте всё, потом сократите итоговую дробь.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Закройте эту часть листом бумаги, пока ученик решает задания. У каждого вычисления показан результат после сокращения.

13. 2/3 · 3/5 = 2/5 исходного запаса. Это доля от всего, а не от выделенных 2/3.
14. 7/8 · 4/7 = 1/2 площади всей оранжереи.
15. 3/5 · 5/6 = 1/2, следовательно знак «=».
16. 4/9 · 3/8 = 1/6; 1/6 меньше 1/4, потому что при равных числителях больший знаменатель означает меньшую долю.

Проверка: выберите два выражения и пересчитайте их без предварительного сокращения: несокращённый и сокращённый ответы обозначают одно и то же число. Для задач 13–14 оцените, что ответ находится между 0 и 1.