Математика, 6 класс: взаимно обратные числа и их распознавание — тренажёр

6 класс · Распечатка для ученика · Обучающий маршрут: распознаём взаимно обратные числа

Фамилия, имя: ____________________________________   Дата: ______________

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, 3/7 и 7/3 — взаимно обратные. Если число записано натуральным, его можно представить дробью со знаменателем 1: число 5 обратно числу 1/5. Нулю обратного числа нет: произведение нуля на любое число равно нулю.

Точка 1. Узнаём обратное число (1–6)

Напишите обратное число, если оно существует. Смешанное число сначала превратите в неправильную дробь.

1. 2/7 → ______
2. 5 → ______
3. 1 1/4 → ______
4. 11/3 → ______
5. 0 → ______
6. 1 → ______

Контрольная точка: проверь произведение (7–10)

Рядом с каждой парой напишите «да» или «нет» и покажите произведение. Не полагайтесь лишь на внешнее сходство числителей и знаменателей.

Точка 2. Исправляем заблуждение (11–12)

11. Ученик назвал числа 2/3 и 2/3 взаимно обратными. Объясните, почему это неверно, и укажите правильную пару для 2/3.
12. Ученик утверждает: «Обратное к 1 1/2 — это 1 2/1». Найдите настоящее обратное число, предварительно переведя смешанное в неправильную дробь.

Финальный тест (13–14)

13. Составьте взаимно обратную пару с числом 7/12. Докажите свой ответ умножением.
14. Среди чисел 4/9, 9/4, 9/5 и 0 найдите обратное к 2 1/4. Сколько ответов подходит?

Подсказки между контрольными точками

Чтобы проверить, обратны ли два числа друг другу, достаточно перемножить их. Удобнее делать это не в уме, а на листе: произведение должно быть в точности равно единице. Похожесть числителей и знаменателей — лишь подсказка. Например, к числу 4/5 обратное 5/4, но пара 4/5 и 5/6 не даёт единицу, так как 4/5 · 5/6 = 2/3.

Натуральное число на этом маршруте считается дробью со знаменателем 1. Следовательно, число 5 можно записать как 5/1 и поменять числитель со знаменателем: получится 1/5. Если число уже равно единице, оно обратно самому себе. Это удобная проверка: 1 · 1 действительно равно единице и не нарушает определение.

Смешанное число требует отдельного шага. Например, 1 1/4 — это не пара чисел 1 и 1/4, а одно число 5/4. Обратная к нему дробь 4/5. Нельзя просто поменять местами цифры в смешанной записи; сначала нужно получить неправильную дробь, а затем перевернуть её.

Особый случай: ноль

Число, обратное нулю, не существует. Дело не в запрете учебника на конкретный символ, а в математическом требовании: для взаимно обратных чисел произведение обязательно равно единице. Произведение нуля на любое число равно нулю, поэтому условие никогда не выполнится. Деление на ноль также недопустимо; эти два факта связаны друг с другом.

Проверка должна быть двусторонней. Если найдено обратное число b к числу a, то a · b = 1 и b · a = 1. При умножении порядок множителей не влияет на результат, поэтому оба порядка годятся. Ученик может выбрать один, однако полезно понимать, почему менять местами числа разрешается.

Учителю: как отличить угадывание от понимания

Попросите объяснить, почему числа 12/15 и 3/4 не взаимно обратны. Уверенный ответ опирается на вычисление: 12/15 · 3/4 = 3/5. Более развитый ответ добавляет, что 12/15 сокращается до 4/5, а обратная к ней дробь — 5/4, не 3/4. Так видно, что ученик владеет и понятием, и вычислительной техникой.

Если ученик часто путает взаимно обратное и противоположное число, напомните разницу целей. Противоположные числа в сумме дают ноль; взаимно обратные — произведением дают единицу. В этой работе рассматриваются преимущественно положительные числа, но само определение не зависит от положительности, кроме запрета нуля.

Ответы и проверка маршрута

11. 2/3 · 2/3 = 4/9, а не 1. Правильная пара: 2/3 и 3/2.
12. 1 1/2 = 3/2. Обратное — 2/3. Запись 1 2/1 не является правильным ответом.

13. Обратное число — 12/7; 7/12 · 12/7 = 1.
14. 2 1/4 = 9/4; обратное 4/9. Подходит ровно один вариант.

Как оценить себя: 13–14 правильных ответов — маршрут пройден; 10–12 — повторите перевод смешанных чисел; менее 10 — вернитесь к определению и вычислению произведения. Особое внимание: обратное число — не противоположное по знаку.

Повторение после ошибки

Если при выполнении пункта с числом 0 ученик написал «0», предложите вспомнить условие взаимной обратности: произведение обязано быть единицей. Ноль не способен дать единицу ни с одним множителем. Если неверно выполнен пункт со смешанным числом, сначала потренируйте перевод в неправильную дробь, а уже затем обращение дроби. В этих случаях ошибка возникает на разных этапах и исправляется разными упражнениями.

Для закрепления удобно использовать устную проверку: один человек произносит ненулевое число, второй называет обратное, а затем оба называют произведение. Однако письменные задания данного маршрута важны тем, что показывают ход рассуждения и дают возможность самостоятельно заметить неточность в сокращении.