Карточка с объяснениями: задачи на одинаковые наборы с помощью НОД — 6 класс
Ученик: ______________________________ Дата: ________________
Перед тобой карточка про наибольший общий делитель (НОД) в реальных ситуациях. Если несколько видов предметов нужно разложить в максимальное число одинаковых наборов без остатка, количество наборов должно быть общим делителем всех исходных чисел. Поэтому ищем именно НОД, а не НОК.
Сначала представь наглядную схему: 24 карандаша и 40 ластиков делим на одинаковые группы. Общие делители 24 и 40 — 1, 2, 4, 8. Наибольший из них — 8. Значит, получатся 8 наборов по 3 карандаша и 5 ластиков. Нельзя выбрать 10: двадцать четыре на десять без остатка не делится.
Содержание статьи6 разделов
Быстрый старт — вычисли и проверь
Выполни задания 1–5 без калькулятора. После каждого ответа запиши проверку умножением. Подчеркни слово «максимальное»: без него задача допускает несколько возможных количеств комплектов.
1. Имеется 24, 40 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
2. Имеется 36, 54 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
3. Имеется 42, 70 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
4. Имеется 48, 64 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
5. Имеется 63, 84 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
На шаг сложнее — три вида предметов
В заданиях 6–10 найти общий делитель нужно уже для трёх чисел. Удобный путь: сначала НОД первых двух, затем НОД полученного числа и третьего. Например, НОД(30, 45, 75) = НОД(15, 75) = 15.
6. Имеется 30, 45, 75 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
7. Имеется 56, 84, 112 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
8. Имеется 72, 96, 120 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
9. Имеется 45, 60, 90 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
10. Имеется 81, 108, 135 предметов разных видов. Найди максимальное число одинаковых наборов без остатка; сколько предметов каждого вида будет в наборе?
Практический кейс — проверь ограничение
В заданиях 11–14 проверяй два условия одновременно: остатка не должно быть, и большее количество одинаковых наборов создать нельзя. Указать только число наборов недостаточно: впиши состав одного набора.
11. В библиотечном кружке приготовили 54 закладки и 72 наклейки. Их нужно разложить в максимальное число одинаковых подарочных наборов без остатка. Сколько будет наборов и сколько предметов каждого вида в одном?
12. Для выставки есть 64 открытки и 96 карточек с фактами. Все комплекты должны быть одинаковыми, ничего не должно остаться. Найди наибольшее число комплектов и состав каждого.
13. Организаторы собрали 75 значков, 105 браслетов и 120 стикеров. Сколько одинаковых призовых наборов максимально можно создать?
14. В мастерской имеются 88 красных бусин и 132 синие. Как разложить их на максимально возможное количество одинаковых пакетов?
Задача на оценку чужого решения
15. Для 36 ручек и 60 карандашей ученик предложил сделать 6 одинаковых комплектов и назвал их максимально возможным числом. Верно ли это? Исправь решение и запиши состав одного комплекта.
Критерий самопроверки: верно найден НОД, правильно получен состав каждого комплекта, и проверка подтверждает исходные количества. Одно верное деление без объяснения максимума не доказывает окончательный ответ.
Ключ и объяснения — после выполнения заданий
Ниже приведены решения ко всем пятнадцати пунктам. Учителю удобно закрыть этот раздел листом бумаги на время выполнения работы: задания занимают верхнюю часть страницы.
1. НОД(24, 40) = 8. Наборов 8; в каждом: 3, 5. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
2. НОД(36, 54) = 18. Наборов 18; в каждом: 2, 3. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
3. НОД(42, 70) = 14. Наборов 14; в каждом: 3, 5. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
4. НОД(48, 64) = 16. Наборов 16; в каждом: 3, 4. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
5. НОД(63, 84) = 21. Наборов 21; в каждом: 3, 4. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
Развёрнутый ключ к трём количествам и ситуациям
6. НОД(30, 45, 75) = 15. Наборов 15; в каждом: 2, 3, 5. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
7. НОД(56, 84, 112) = 28. Наборов 28; в каждом: 2, 3, 4. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
8. НОД(72, 96, 120) = 24. Наборов 24; в каждом: 3, 4, 5. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
9. НОД(45, 60, 90) = 15. Наборов 15; в каждом: 3, 4, 6. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
10. НОД(81, 108, 135) = 27. Наборов 27; в каждом: 3, 4, 5. Проверка: умножь каждое число предметов в наборе на число наборов.
11. НОД(54, 72) = 18; комплектов 18, состав одного: 3, 4. Каждое исходное количество делится на 18 без остатка.
12. НОД(64, 96) = 32; комплектов 32, состав одного: 2, 3. Каждое исходное количество делится на 32 без остатка.
13. НОД(75, 105, 120) = 15; комплектов 15, состав одного: 5, 7, 8. Каждое исходное количество делится на 15 без остатка.
14. НОД(88, 132) = 44; комплектов 44, состав одного: 2, 3. Каждое исходное количество делится на 44 без остатка.
15. Шесть комплектов возможны (по 6 ручек и 10 карандашей), но это не максимум. НОД(36, 60) = 12, поэтому максимально 12 комплектов: по 3 ручки и 5 карандашей.
Если в работе найден не максимальный, но допустимый общий делитель, это частично верный расчёт, однако условие о наибольшем числе наборов не выполнено. Попроси ученика выписать другие общие делители и выбрать наибольший.
Приём для повторения. Возьми любые два из использованных количеств. После нахождения НОД замени одно из них числом, которое не делится на найденный ответ. Объясни, почему число возможных наборов изменилось. Так ты проверишь понимание, а не только навык вычисления.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.