Диагностика навыка: делимость произведения и суммы: верно или неверно — 6 класс
Ученик: ______________________________ Дата: ________________
В этом диагностическом листе нужно определить, верно ли утверждение о делимости. Проверять придётся и суммы, и произведения: они подчиняются разным правилам. Один подходящий пример не доказывает утверждение «для всех чисел», но один контрпример достаточно убедительно показывает, что такое утверждение неверно.
Небольшая отправная точка: 12 и 18 делятся на 6, значит, 12 + 18 делится на 6. Но обратное утверждение ошибочно: 7 + 5 = 12, хотя ни 7, ни 5 не делятся на 6. При умножении работает другое правило: если хотя бы один множитель кратен k, всё произведение кратно k. Обратное правило для составных делителей может не выполняться: 2 × 3 кратно 6.
Содержание статьи5 разделов
Сначала разберись с одним частным случаем
Рассмотри сумму 18 + 24 и произведение 6 × 7. В обоих случаях результат делится на 6, но причина различается: у суммы два кратных 6 слагаемых, а у произведения достаточно одного множителя 6. Попробуй проговорить, в каких условиях вывод можно сделать заранее, ещё не вычисляя значение.
Общий алгоритм: доказательство или контрпример
- Выдели ключевые слова «если», «всегда», «любое», «хотя бы один».
- Для утверждения о сумме проверяй остатки слагаемых при делении на выбранное число.
- Для произведения подумай, может ли составной делитель возникнуть из нескольких множителей.
- Если утверждение неверно, запиши маленький числовой контрпример и объясни, какое условие он нарушает.
- Если верно, запиши короткое правило — одного случайного примера здесь недостаточно.
Диагностическая работа: 12 утверждений
Работай самостоятельно. Для каждого пункта сначала поставь В/Н, затем докажи утверждение либо опровергни его примером. По возможности избегай больших вычислений: в центре внимания — смысл делимости.
1. Если оба слагаемых делятся на 6, их сумма делится на 6. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
2. Если сумма двух натуральных чисел делится на 6, то каждое слагаемое делится на 6. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
3. Если один множитель делится на 9, произведение делится на 9. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
4. Если произведение делится на 6, то хотя бы один множитель обязан делиться на 6. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
5. Сумма двух чисел, не делящихся на 5, никогда не делится на 5. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
6. Если первое слагаемое делится на 4, а второе не делится на 4, сумма не делится на 4. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
7. Если сумма делится на 3 и одно слагаемое делится на 3, то другое тоже делится на 3. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
8. Если произведение делится на 10, то оно чётное. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
9. Сумма двух нечётных натуральных чисел нечётна. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
10. Число, кратное 12, обязательно делится и на 3, и на 4. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
11. Если произведение натуральных чисел кратно 7, то хотя бы один из множителей кратен 7. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
12. Если сумма двух натуральных чисел чётная, то их чётность одинакова. Отметь «верно» или «неверно»; для неверного утверждения приведи контрпример.
Место для ответа: 1 ___ 2 ___ 3 ___ 4 ___ 5 ___ 6 ___ 7 ___ 8 ___ 9 ___ 10 ___ 11 ___ 12 ___.
Уточнение для ученика
Здесь речь идёт о натуральных числах и обычной делимости без остатка. Предложение «число делится на k» значит, что число можно представить как k, умноженное на натуральное число. Для рассуждения допускаются буквы m и n, если этот способ уже проходили; иначе используй словесное объяснение.
Ключ и объяснения — после выполнения заданий
Ниже для каждого утверждения приводится проверка. Обращай внимание: верное утверждение подтверждается общим объяснением, неверное — конкретным опровергающим примером.
1. Верно. Слагаемые имеют вид 6m и 6n; сумма равна 6(m + n).
2. Неверно. Контрпример: 1 + 5 = 6, но ни 1, ни 5 не делится на 6.
3. Верно. Произведение содержит множитель 9: (9m) × n = 9(mn).
4. Неверно. 2 × 3 = 6; ни 2, ни 3 по отдельности не делятся на 6.
5. Неверно. 2 + 3 = 5. Ненулевые остатки могут дать кратное 5.
6. Верно. Иначе вычитание первого слагаемого из суммы дало бы число, кратное 4.
7. Верно. Второе слагаемое = сумма − первое слагаемое; разность кратных 3 кратна 3.
8. Верно. В 10 есть множитель 2; кратное 10 делится на 2.
9. Неверно. 3 + 5 = 8 — чётное число.
10. Верно. 12 = 3 × 4, любое число 12k кратно обоим делителям.
11. Верно. 7 — простое число. Если простое делит произведение, оно делит хотя бы один множитель.
12. Верно. Ч + Ч и Н + Н дают чётное; Ч + Н даёт нечётное.
Если ученик ошибся в пунктах 2, 4 и 5, скорее всего, он воспринимает делимость как свойство каждого слагаемого или множителя по отдельности. Попроси придумать ещё один контрпример вместо механического переписывания ответа.
Вывод для повторения. Из «каждое слагаемое делится на k» следует «сумма делится на k»; из «один множитель делится на k» следует «произведение делится на k». Обратные выводы без дополнительных условий делать нельзя. Это различие пригодится при работе с обыкновенными дробями и сокращением.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.