Разбор типичных ошибок: приведение дробей к наименьшему общему знаменателю — 6 класс
Математика, 6 класс. Карточка на поиск ошибок при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю. На работу с учеником рассчитано 20–25 минут; ответы расположены после заданий.
Фамилия, имя: __________________________________ Дата: _______________
Содержание статьи6 разделов
Почему знаменатель должен быть общим и наименьшим
Дроби 1/6 и 1/8 обозначают части разной величины. Если разделить одинаковые полоски на 24 одинаковые доли, то 1/6 превратится в 4/24, а 1/8 — в 3/24. Число 24 делится и на 6, и на 8 без остатка; меньшего положительного общего кратного у 6 и 8 нет. Это НОК(6, 8).
| Было | Стало | Почему дробь не изменилась |
|---|---|---|
| 1/6 | 4/24 | Умножаем числитель и знаменатель на 4 |
| 1/8 | 3/24 | Умножаем числитель и знаменатель на 3 |
Запись 1/6 = 8/48 и 1/8 = 6/48 тоже верна, но знаменатель 48 не является наименьшим. В этой работе недостаточно найти любой общий знаменатель: нужно показать, почему выбран именно НОК.
Исследуем ошибки в трёх готовых решениях
Сначала укажите первую неверную строку, затем напишите исправленное решение. Иногда равенства верные, но условие «наименьший» всё равно нарушено.
- Для 1/6 и 1/8 ученик записал: 1/6 = 8/48; 1/8 = 6/48; НОЗ = 48. Что исправить?
- Для 2/9 и 5/6 записано: 2/9 = 4/18; 5/6 = 10/18. Найдите ошибку в равенстве.
- Для 3/10 и 5/12 записано: 3/10 = 9/30; 5/12 = 15/30. Объясните сразу две проблемы.
Самостоятельная карточка: 12 пар дробей
Для каждой пары запишите: 1) наименьший общий знаменатель; 2) обе новые дроби; 3) два множителя, на которые умножили числитель и знаменатель каждой исходной дроби. Числители не складываем и не сравниваем — наша цель именно приведение.
- 2/9 и 5/12. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 7/10 и 3/8. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 5/6 и 7/15. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 3/14 и 4/21. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 11/18 и 5/12. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 7/16 и 9/20. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 4/15 и 3/10. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 9/28 и 5/42. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 5/18 и 7/24. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 11/30 и 13/45. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 2/3 и 3/5. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
- 5/12 и 7/18. НОЗ = _______; преобразование: __________ и __________.
Как проверять минимальность выбранного знаменателя
Разберите пример с числами 12 и 18. Произведение 12 × 18 = 216 делится на оба знаменателя, но значительно больше необходимого. Разложение 12 = 2 × 2 × 3 и 18 = 2 × 3 × 3 показывает: для общего кратного достаточно двух двоек и двух троек, то есть 36. Поэтому ответ с 216 не удовлетворяет слову «наименьший».
Если ученик умеет искать общий знаменатель через подбор кратных, предложите выписать числа 12, 24, 36, … и 18, 36, … . Первое совпадение — 36. Разложение на множители в этой карточке необязательно: выбирайте способ в соответствии с уже изученным материалом. Оба пути приводят к одному НОК.
Не путайте термин «наименьший общий знаменатель» с «сокращением дроби». Во втором случае мы делим числитель и знаменатель на общий делитель; в первом — домножаем дроби, чтобы получить одинаковые знаменатели. Значение дроби сохраняется в обоих преобразованиях, но действия противоположные.
Самопроверка без подсказки к ответам
- Каждый новый знаменатель должен делиться на оба исходных. Если нет — преобразование неверно.
- Делим найденный знаменатель на старый знаменатель: получаем множитель. Им умножаем также числитель.
- Проверяем минимальность: если у предполагаемого общего знаменателя есть меньший положительный общий кратный, ответ нужно улучшить.
- Для взаимно простых знаменателей НОК равен их произведению; если есть общие множители, просто перемножать их обычно невыгодно.
Для учителя: ошибки с общим знаменателем часто происходят из-за переноса приёма сложения в задачу на эквивалентные дроби. Попросите ученика объяснить, почему значение дроби сохраняется при умножении обеих частей на одно и то же ненулевое число.
Ответы и проверка
- Оба равенства правильны, но 48 — не наименьший общий знаменатель. НОК(6, 8) = 24; поэтому 1/6 = 4/24, 1/8 = 3/24.
- НОК(9, 6) = 18; 2/9 = 4/18, но 5/6 = 15/18: множитель равен 3, а не 2.
- 30 не делится на 12, поэтому 5/12 нельзя представить дробью со знаменателем 30 и целым числителем. НОК(10, 12) = 60; 3/10 = 18/60 и 5/12 = 25/60.
- НОК(9, 12) = 36; 2/9 = 8/36 (×4), 5/12 = 15/36 (×3). Проверка: 8/36 и 15/36 равны исходным дробям.
- НОК(10, 8) = 40; 7/10 = 28/40 (×4), 3/8 = 15/40 (×5). Проверка: 28/40 и 15/40 равны исходным дробям.
- НОК(6, 15) = 30; 5/6 = 25/30 (×5), 7/15 = 14/30 (×2). Проверка: 25/30 и 14/30 равны исходным дробям.
- НОК(14, 21) = 42; 3/14 = 9/42 (×3), 4/21 = 8/42 (×2). Проверка: 9/42 и 8/42 равны исходным дробям.
- НОК(18, 12) = 36; 11/18 = 22/36 (×2), 5/12 = 15/36 (×3). Проверка: 22/36 и 15/36 равны исходным дробям.
- НОК(16, 20) = 80; 7/16 = 35/80 (×5), 9/20 = 36/80 (×4). Проверка: 35/80 и 36/80 равны исходным дробям.
- НОК(15, 10) = 30; 4/15 = 8/30 (×2), 3/10 = 9/30 (×3). Проверка: 8/30 и 9/30 равны исходным дробям.
- НОК(28, 42) = 84; 9/28 = 27/84 (×3), 5/42 = 10/84 (×2). Проверка: 27/84 и 10/84 равны исходным дробям.
- НОК(18, 24) = 72; 5/18 = 20/72 (×4), 7/24 = 21/72 (×3). Проверка: 20/72 и 21/72 равны исходным дробям.
- НОК(30, 45) = 90; 11/30 = 33/90 (×3), 13/45 = 26/90 (×2). Проверка: 33/90 и 26/90 равны исходным дробям.
- НОК(3, 5) = 15; 2/3 = 10/15 (×5), 3/5 = 9/15 (×3). Проверка: 10/15 и 9/15 равны исходным дробям.
- НОК(12, 18) = 36; 5/12 = 15/36 (×3), 7/18 = 14/36 (×2). Проверка: 15/36 и 14/36 равны исходным дробям.
Ключевое диагностическое различие: «взял общий, но не наименьший» — ошибка условия задачи; «умножил только знаменатель» — нарушение основного свойства дроби. Эти ошибки исправляют разными упражнениями.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.