Определение области допустимых значений выражения — карточки по математике для 7 класса

7 класс · Алгебра · Рабочий материал для печати

В карточке рассматриваются только алгебраические дроби с натуральными показателями, без корней и логарифмов. Это полезный вводный уровень поиска ОДЗ для 7 класса.

Быстрый старт: четыре правила

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. В этом практикуме главное ограничение: на нуль делить нельзя. Поэтому мы ищем значения, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их.

Образец: для 5/(x − 4) знаменатель равен нулю при x = 4; ОДЗ: все действительные x, кроме 4. Для 2/((x − 1)(x + 3)) запрещены x = 1 и x = −3.

А. Найдите запрещённые значения (1–6)

1. Запишите ОДЗ выражения 7/(x−3).
2. Запишите ОДЗ выражения (x+1)/(x+5).
3. Запишите ОДЗ выражения 5/(2x).
4. Запишите ОДЗ выражения (x−2)/(x−2).
5. Запишите ОДЗ выражения 1/((x−2)(x+2)).
6. Запишите ОДЗ выражения (2x+1)/(x²−9).

Б. Разбор нескольких факторов (7–12)

7. При каких значениях переменной определено выражение (x+4)/(3x+6)? Запишите ответ словами и символами.
8. При каких значениях переменной определено выражение x/(x(x−1))? Запишите ответ словами и символами.
9. При каких значениях переменной определено выражение (y+2)/(y−7)? Запишите ответ словами и символами.
10. При каких значениях переменной определено выражение (a+1)/((a−3)(a+5))? Запишите ответ словами и символами.
11. При каких значениях переменной определено выражение 6/(5−z)? Запишите ответ словами и символами.
12. При каких значениях переменной определено выражение (t+1)/(t−1)²? Запишите ответ словами и символами.

В. Самостоятельная проверка без сокращения (13–18)

13. Найдите ОДЗ: (u−2)/(7u). Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.
14. Найдите ОДЗ: (x²−1)/(x²−1). Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.
15. Найдите ОДЗ: 4/(x²+1). Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.
16. Найдите ОДЗ: (x+3)/(2x−10). Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.
17. Найдите ОДЗ: (x−4)/(3(x−4)). Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.
18. Найдите ОДЗ: (3m+1)/m². Проверьте каждое запрещённое значение подстановкой.

Место для решения: ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

Практическая ситуация

Ученик получил формулу, где число деталей в одной коробке описано как (n + 8)/(n − 4). Можно ли применить формулу при n = 4? Нет: знаменатель обнуляется. При целых положительных n также нужно проверить смысл величин по условию: математическая ОДЗ и практические ограничения — не одно и то же.

Ответы и объяснения

1. x ≠ 3. При x = 3 знаменатель равен нулю.
2. x ≠ −5. Нельзя подставить −5.
3. x ≠ 0. 2x = 0 только при x = 0.
4. x ≠ 2. Даже если дробь сокращается, исходное выражение при x = 2 не определено.
5. x ≠ −2 и x ≠ 2. Произведение обращается в нуль при каждом из двух значений.
6. x ≠ −3 и x ≠ 3. x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
7. x ≠ −2. 3x + 6 = 3(x + 2).
8. x ≠ 0 и x ≠ 1. Сокращать x до записи ограничений нельзя.
9. y ≠ 7. Знаменатель y − 7.
10. a ≠ 3 и a ≠ −5. Два запрещённых значения.
11. z ≠ 5. 5 − z = 0 при z = 5.
12. t ≠ 1. Квадрат знаменателя равен нулю при t = 1.
13. u ≠ 0. 7u = 0 при u = 0.
14. x ≠ −1 и x ≠ 1. Даже если значение обычно равно 1, эти две точки недопустимы.
15. любое действительное x. Для действительного x: x² ≥ 0, значит x² + 1 ≥ 1.
16. x ≠ 5. 2x − 10 = 0 при x = 5.
17. x ≠ 4. После сокращения ограничение исходной дроби остаётся.
18. m ≠ 0. Квадрат равен нулю при m = 0.

Критерий: за каждый пункт 1 балл, за осмысленное объяснение хотя бы четырёх пунктов ещё 4 балла. 18–22 — тема усвоена; 13–17 — повторить разложение знаменателя на множители; менее 13 — сначала потренироваться находить нули линейных выражений. Задачи с буквенными дробями входят в программы в разные моменты; учитель может оставить 1–6 как вводный уровень.

Что учителю важно уточнить перед работой

Слово «допустимое» здесь относится к исходному выражению, а не к результату его преобразования. Если знаменатель равен нулю, дробь не имеет значения: нельзя «починить» это сокращением одинакового числителя и знаменателя. Например, (x − 4)/(x − 4) действительно равно 1 при x ≠ 4, но при x = 4 исходная дробь представляет собой 0/0 и не определена. Поэтому сначала находят ОДЗ, затем упрощают.

При разложенном знаменателе используйте простое правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Для (x − 2)(x + 2) недопустимы и 2, и −2. Если ученик пропускает одно из значений, предложите ему подставить пропущенное число и увидеть нуль. При квадратном знаменателе x² − 9 можно узнать разность квадратов, а затем разложить на (x − 3)(x + 3). Это позволяет получить ограничения без сложных методов.

Есть и обратный случай: знаменатель x² + 1 никогда не равен нулю для действительных x, потому что квадрат неотрицателен. Следовательно, ограничений нет. Такой пример предупреждает другую ошибку — считать, что любая буква в знаменателе автоматически создаёт запрет на нуль.

Для самостоятельной проверки ученик может составить маленькую таблицу из трёх колонок: «знаменатель», «когда знаменатель равен 0», «ОДЗ». Эта схема отделяет вычислительную часть от ответа. В заданиях с двумя переменными нужно повторять процедуру для каждой переменной; в данном рабочем листе специально используется только одна переменная в каждом выражении, чтобы тренировка не перегружалась.

Порядок работы: ученик выполняет задания до раздела «Ответы»; учитель или родитель сверяет ключ и просит объяснить обнаруженные ошибки. Последовательность тем может различаться в программах школ России и Казахстана.