Вероятность выбрать определённую карточку из набора: самостоятельная работа по математике, 6 класс

Самостоятельная работа, 6 класс. В этой карточке изучается вероятность вытянуть определённую карточку из конечного набора. В отличие от эксперимента, в котором мы уже посчитали частоты, здесь набор известен заранее: можно точно пересчитать все равновозможные варианты выбора.

Метод: от состава набора к дроби

Предполагаем, что карточки одинаковые на ощупь, тщательно перемешаны и одну карточку вытягивают наугад; любая отдельная карточка имеет одинаковую вероятность быть выбранной. Тогда P(события) = число подходящих карточек / общее число карточек. Всего карточек должно быть хотя бы одна. Дробь не может быть отрицательной или больше 1.

Шаг 1. Пересчитайте физические карточки, а не только различные надписи. Шаг 2. Запишите условие события: «номер 6», «красная», «чётный номер». Шаг 3. Пересчитайте благоприятные карточки. Шаг 4. Составьте и при необходимости сократите дробь. Если нужных карточек нет, вероятность равна 0. Если подходят все, вероятность равна 1.

Три разобранных примера

Пример А. Только одна карточка

Лежат восемь карточек с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Вероятность вытянуть карточку «6» равна 1/8: единственная подходящая карточка среди восьми. Не нужно делить номер 6 на 8 — цифра на карточке не является числом благоприятных исходов.

Пример Б. Несколько карточек дают событие

Из того же набора выбирают чётное число. Подходят 2, 4, 6, 8 — четыре карточки из восьми. Значит, P = 4/8 = 1/2. Событие «вытянута карточка с числом больше 8» имеет вероятность 0, ведь в наборе таких надписей нет.

Пример В. Повторяющаяся надпись — отдельные предметы

В коробке 3 карточки со звездой, 2 с кругом и 4 с квадратом, всего 9. Вероятность вытащить звезду равна 3/9 = 1/3, а не 1/3 из-за количества видов рисунков: численно получилось так же случайно. Вероятность круга — 2/9, квадрата — 4/9. Контроль: (3 + 2 + 4)/9 = 1.

Как проверить правдоподобие дроби

До сокращения дроби внимательно посмотрите на общее количество. Например, коробка содержит 4 голубые карточки и 7 зелёных. Всего их 11, поэтому вероятность голубой — 4/11. Ответ 4/7 здесь неправильный: число 7 показывает только количество зелёных, а не всех. Противоположное событие — вытащить зелёную карточку — имеет вероятность 7/11. Их сумма равна 11/11 = 1: других цветов в наборе нет.

Пусть карточки помечены буквами М, М, Н, Н, Н, П. Буквы на карточках повторяются, но физических предметов шесть. Для события «буква Н» есть три подходящие карточки: 3/6 = 1/2. Для события «одна конкретная карточка с буквой Н, заранее отмеченная с обратной стороны» подходит один предмет: 1/6. Это два различных вопроса, хотя в обоих упоминается Н. В упражнениях внимательно следите, говорят ли о надписи или об отдельной заранее определённой карточке.

Иногда в задании говорится «набор номеров 1–10». Без дополнительного уточнения здесь разумно понимать десять отдельных карточек с однократным появлением каждого номера. Если же номера повторяются, они должны быть указаны явным списком, как в наборах 4 и 6. Иначе количество благоприятных исходов невозможно определить однозначно.

Полезно проверять ответ и на крайних случаях. Если все карточки красные, вероятность красной равна 1, а синей — 0; полученный результат 1/10 для красной при десяти красных означал бы ошибку в подсчёте. Если в коробке только одна карточка, её единственный признак при случайном выборе появится с вероятностью 1, а не «с вероятностью 1/2, потому что могло повезти или не повезти». Вероятность зависит от состава набора, а не от числа придуманных словесных ответов.

Задания с частичными подсказками

Работайте самостоятельно, читая подсказку только после попытки. Если в условии сказано «вытянуть одну», возвращать карточку не требуется: рассматривается единственный выбор.

1. Набор 1: числа от 1 до 12, каждая надпись встречается один раз. Какова вероятность карточки «11»? Подсказка: благоприятная карточка одна.
2. В том же наборе найдите вероятность вытянуть число, кратное 4. Подсказка: перечислите все подходящие номера.
3. Набор 2: 5 синих карточек, 2 оранжевых, 3 белых. Какова вероятность выбрать оранжевую? Подсказка: всего 10 карточек.
4. В наборе 2 найдите вероятность получить карточку не синего цвета. Подсказка: можно считать двумя способами.
5. Набор 3: карточки с числами 3, 5, 7, 9, 11, 13. Какова вероятность получить чётное число? Подсказка: сперва проверьте, существует ли такое.
6. В наборе 3 найдите вероятность карточки с нечётным числом. Подсказка: подходят ли все?
7. Набор 4: надписи А, А, Б, В, В, В, Г. Какова вероятность вытащить карточку с буквой В? Подсказка: две одинаковые надписи на двух карточках — два исхода.
8. В наборе 4 найдите вероятность одной из букв А или Г. Подсказка: события несовместимы при одном вытягивании.
9. Набор 5: номера 10, 20, 30, 40, 50. Какова вероятность получить номер меньше 35? Подсказка: сравните каждое число с 35.
10. В наборе 5 найдите вероятность карточки с числом, которое делится на 15. Подсказка: не всякое число, кратное 10, кратно 15.
11. Набор 6: карточки 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4. Найдите вероятность надписи 1. Подсказка: восемь физических карточек.
12. В наборе 6 найдите вероятность надписи 3. Подсказка: такого числа нет.
13. Набор 7: 6 красных и 4 зелёных карточки. Как изменится вероятность зелёной, если добавить ещё 5 зелёных, хорошо перемешать и выбирать одну карточку уже из увеличенного набора?
14. В новом наборе из задания 13 какая вероятность красной карточки? Объясните, почему сумма двух вероятностей равна 1.

Пошаговые решения: ключ для учителя и самопроверки

1. Всего 12 различных физических карточек; № 11 один: 1/12.
2. Из 1–12 кратны 4 номера 4, 8, 12. Три подходящие из 12: 3/12 = 1/4.
3. Общее число 5 + 2 + 3 = 10, оранжевых 2: 2/10 = 1/5.
4. Не синие — 2 оранжевые и 3 белые, итого 5: 5/10 = 1/2. Альтернативно 1 − 5/10 = 1/2.
5. Все шесть чисел нечётные: число чётных карточек 0, значит 0/6 = 0.
6. Шесть благоприятных из шести: 6/6 = 1.
7. Буква В стоит на трёх из семи отдельных карточек: 3/7.
8. Буква А — два раза, Г — один раз. Подходят 3 из 7: 3/7. Нельзя дважды выбрать одну карточку в одном опыте.
9. Меньше 35 числа 10, 20, 30: 3/5.
10. На 15 делится только 30: 1/5.
11. Из восьми карточек надпись 1 есть на трёх: 3/8.
12. Надписи 3 нет, поэтому 0/8 = 0.
13. Было 4/10 = 2/5. После добавления 5 зелёных их стало 9, всего 15: 9/15 = 3/5. Вероятность увеличилась на 1/5.
14. Красных по-прежнему 6, всего 15: 6/15 = 2/5. Либо вытянута красная, либо зелёная — третьего цвета нет, поэтому 3/5 + 2/5 = 1.

Разбор ошибок: что проверять перед ответом

Не делите цифру на число карточек. В примере А на карточке написано 6, но это не шесть благоприятных исходов. Не считайте только виды. Три карточки со звездой — три шанса из девяти на рисунок звезды. Не путайте событие с результатом серии. Здесь берут одну карточку; говорить о частоте в 100 вытягиваниях было бы уже другой задачей. Не забывайте изменения набора. После добавления карточек меняется знаменатель вероятности.

Условие применимости: все отдельные карточки равновозможны только при честном случайном выборе. Если карточки различаются по толщине или заранее известен порядок в стопке, простая формула «подходящие / все» может оказаться неприменимой. В наших упражнениях равновозможность прямо предполагается.