Таблица исходов при броске двух монет: задания от простого к сложному, 6 класс

Углублённый практикум для 6 класса. При подбрасывании двух различимых честных монет (первая и вторая) исход записываем двумя буквами: О — орёл, Р — решка. Порядок важен: ОР и РО — разные исходы. Будем учиться строить полную таблицу, выделять события и проверять границы модели, а не просто угадывать вероятность.

Исходная таблица: четыре равновозможных исхода

Предполагается, что броски независимы и каждая монета честная. Поэтому все четыре упорядоченных исхода имеют вероятность 1/4. Полезная проверка: сумма четырёх вероятностей 1. Не сводите ОР и РО к одному исходу только потому, что обе записи содержат одного орла и одну решку.

Пограничные ситуации: где рассуждают неверно

«Хотя бы один орёл» означает один или два орла, то есть ОО, ОР, РО. «Ровно один орёл» — только ОР и РО. «Одинаковые стороны» — ОО и РР. Фраза «две монеты», если различить монеты нельзя визуально, не отменяет существования четырёх равновозможных упорядоченных исходов при независимых бросках. А если известно, что выпал хотя бы один орёл, события оцениваются в уменьшенном множестве {ОО, ОР, РО}; такое условие будет явно названо в заданиях.

Два способа доказать полноту таблицы

Способ 1. Разветвление

После первого броска существуют две возможности: О и Р. Для каждой из них второй бросок снова даёт О или Р. От первой ветви О отходят ОО и ОР; от ветви Р — РО и РР. Количество концевых ветвей равно 2 + 2 = 4. В такой схеме нельзя забыть исход РО: он расположен под первой ветвью Р и вторым результатом О.

Способ 2. Проверка строк и столбцов

У таблицы две строки по результату первой монеты и два столбца по результату второй. Каждая клетка соответствует одной упорядоченной паре результатов. Произведение 2 × 2 даёт четыре клетки. Если школьник записал лишь три, значит, он либо пропустил клетку, либо объединил результаты, которые нельзя объединять. Чтобы найти ошибку, полезно последовательно назвать обе координаты каждой клетки.

Почему вероятности одинаковы? При предположении независимости честных монет шанс любой фиксированной пары, например ОР, равен (1/2) × (1/2) = 1/4. Тот же расчёт верен для остальных трёх исходов. Равновозможность не следует только из того, что в таблице четыре клетки. Если бы монеты были нечестными, таблица сохранила бы те же четыре исхода, но их вероятности могли бы различаться. Это важная граница используемой модели.

Проверка события через противоположное

Вместо перечисления трёх исходов события «хотя бы один орёл» можно найти один исход противоположного события: «ни одного орла», то есть РР. Поэтому P(хотя бы один О) = 1 − 1/4 = 3/4. В таком рассуждении нельзя заменить «хотя бы» на «ровно»: событие «ровно один орёл» исключает ОО и содержит только ОР, РО, так что вероятность 2/4 = 1/2.

Другой полезный контроль связан с взаимоисключающими случаями. Каждый из четырёх исходов относится либо к «одинаковым сторонам», либо к «разным сторонам». Совпадение возможно в ОО и РР, различие — в ОР и РО. Поэтому сумма вероятностей этих двух событий 1/2 + 1/2 = 1. А вот «вторая монета — орёл» и «хотя бы один орёл» нельзя просто складывать: исходы ОО и РО подходят одновременно под оба описания, что привело бы к двойному счёту.

Уровень I. Построить и прочитать таблицу — задания 1–8

1. Выпишите все четыре исхода броска двух различимых монет в порядке «первая, вторая».
2. Назовите все исходы, где первая монета показала О.
3. Назовите все исходы, где вторая монета показала Р.
4. Сколько исходов соответствуют двум орлам? Запишите вероятность.
5. Найдите вероятность двух решек.
6. Выделите в таблице все исходы с ровно одним орлом; найдите вероятность.
7. Какова вероятность, что стороны на обеих монетах совпадают?
8. Сколько разных упорядоченных исходов получится, если заменить обе монеты другими честными монетами?

Уровень II. События и дополнения — задания 9–16

9. Событие A: «выпал хотя бы один орёл». Выпишите подходящие исходы и вычислите P(A).
10. Событие B: «нет ни одной решки». Вычислите P(B) и поясните разницу с A.
11. Событие C: «вторая монета показала орла». Найдите вероятность.
12. Событие D: «хотя бы одна решка». Перечислите исходы.
13. Найдите вероятность не получить две одинаковые стороны.
14. Вычислите вероятность события «не более одного орла».
15. Вычислите вероятность «не меньше одного орла» и проверьте ответ через противоположное событие.
16. Ученик считает, что ОР и РО — одно и то же, поэтому исходов три и вероятность ОО равна 1/3. Найдите ошибку.

Уровень III. Условие меняет набор исходов — задания 17–24

17. Известно, что первая монета показала О. Какие исходы ещё возможны? Какова вероятность ОО при этом условии?
18. Известно, что вторая монета показала Р. Какова вероятность, что первая — О?
19. Известно, что выпала ровно одна решка. Какова вероятность исхода РО?
20. Известно, что выпала хотя бы одна решка. Какова вероятность РР?
21. Известно, что вторая монета показала О. Какова вероятность, что первая — Р?
22. Известно, что хотя бы одна монета показала О. Какова вероятность двух орлов? Запишите оставшееся пространство исходов.
23. В таблице ученик оставил только ОО, ОР, РР, заявив, что РО «такой же, как ОР». Сколько клеток должно быть и какую клетку нужно восстановить?
24. Сравните вероятности событий «ровно один орёл» и «одинаковые стороны». Одинаковы ли события и одинаковы ли их вероятности? Объясните по составу исходов.

Ответы с объяснениями по уровням

I. Чтение таблицы

1. ОО, ОР, РО, РР. По два возможных результата первой и второй монет: 2 × 2 = 4.
2. ОО, ОР. Первая буква О.
3. ОР, РР. Вторая буква Р.
4. 1 исход; 1/4. Только ОО.
5. 1/4. Только РР.
6. ОР, РО; 2/4 = 1/2. В каждом ровно один О.
7. 2/4 = 1/2. Совпадают ОО и РР.
8. 4. Материал монет не важен при тех же двух честных независимых бросках.

II. Расчёт по выделенным клеткам

9. ОО, ОР, РО; 3/4. Исключается лишь РР.
10. ОО; 1/4. Здесь обе монеты обязаны показать О, в отличие от «хотя бы одного».
11. ОО, РО; 1/2. Вторая буква О.
12. ОР, РО, РР; 3/4. Исключён ОО.
13. ОР, РО; 1/2. Разные стороны дают два исхода из четырёх.
14. ОР, РО, РР; 3/4. «Не более одного» допускает ноль или одного орла.
15. 3/4. Противоположное событие — «ни одного орла», это только РР с вероятностью 1/4, значит 1 − 1/4 = 3/4.
16. Ошибка: смешаны два различных упорядоченных исхода. Результат первой монеты и второй может поменяться местами; исходов четыре, P(ОО) = 1/4, а не 1/3.

III. Условные вопросы

17. ОО и ОР; 1/2. Из двух равновозможных оставшихся исходов один ОО.
18. 1/2. При второй Р возможны ОР и РР, только в ОР первая О.
19. 1/2. Возможны только ОР и РО, один из двух — РО.
20. 1/3. После условия остаются ОР, РО, РР; лишь один — РР. Они имеют одинаковую исходную вероятность 1/4 и потому равновозможны внутри этого условия.
21. 1/2. При второй О остаются ОО и РО, один из них начинается с Р.
22. 1/3. Пространство после условия: {ОО, ОР, РО}; благоприятен только ОО.
23. 4 клетки; вернуть РО. Место «первая Р, вторая О» не занято другим исходом.
24. Вероятности равны по 1/2, события различны. «Ровно один орёл» = {ОР, РО}; «одинаковые стороны» = {ОО, РР}. Равенство вероятностей не делает события одинаковыми.

Контроль результата

Во всех вычислениях без дополнительного условия знаменатель — 4; в заданиях 17–22 знаменатель может уменьшаться из-за полученной информации. Не пытайтесь приравнять вероятность 1/3 после условия к вероятности ОО до наблюдения: это ответы на разные вопросы. Для честных независимых монет в таблице четыре исхода, а все вероятности допустимы только между 0 и 1.