Нахождение масштаба по двум известным расстояниям — рабочий лист для 6 класса

Рабочий лист «Определи масштаб». Даны оба расстояния: на карте и в действительности. Не нужно вычислять длину на местности — она уже известна. Нужно определить отношение одинаковых единиц измерения, чтобы записать масштаб в виде 1 : N. Для корректного численного масштаба принимаем одинаковые единицы в обеих частях отношения.

Вступительная задача и два способа

На туристической схеме расстояние между источником и стоянкой изображено отрезком 4 см, в действительности по прямой это 2 км. Найдите масштаб.

1. Метод перевода: 2 км = 200 000 см. Отношение карты к реальности 4 : 200 000, после деления обеих частей на 4 получаем 1 : 50 000.
2. Метод единичного отрезка: если 4 см означают 2 км, то 1 см означает 2 : 4 = 0,5 км = 50 000 см. Масштаб 1 : 50 000.

Формула-контроль: N = действительное расстояние в см : расстояние на карте в см. Перед делением сантиметры и километры обязаны быть приведены к одним единицам. Величина N безразмерная: её нельзя подписывать «км» или «м». Если часть изображения была растянута при печати, установленный по одной линии масштаб может не подходить для другой линии.

Заполните столбец масштаба

В заданиях 13–15 действительная длина меньше километра. Не считайте, что такой маршрут обязательно имеет большой знаменатель: километры сначала нужно перевести в сантиметры, и лишь затем делить. Сохраните все цифры измерений — преждевременное округление 2,4 см до 2 см меняет ответ на четверть.

Два способа проверки результата

1. Возьмите найденное N и умножьте на количество сантиметров на карте; получится реальная длина в сантиметрах. Затем переведите в километры.
2. Выразите реальное расстояние в километрах на 1 сантиметр карты. После умножения на длину карты должно получиться число километров из условия.

Маршрут для учителя: от вычисления к объяснению

Начните не с формулы, а с вопроса: «Что здесь неизвестно?» В задаче о масштабе две длины уже указаны. Неизвестно, сколько сантиметров в действительности приходится на один сантиметр плана. Поэтому делить нужно действительное расстояние на изображённое, а не наоборот. Такой смысл позволяет обнаружить ошибку даже до арифметики: для уменьшенной карты N должно быть больше 1. Масштаб 1 : 0,00002 здесь не подходит, потому что это отношение для противоположного порядка величин.

Для учеников, которые уверенно считают десятичные дроби, удобно найти N сразу по формуле. Для учеников, которым трудно удержать перевод единиц, безопаснее два шага: сначала выразить реальное расстояние в сантиметрах, затем мысленно разделить его между всеми сантиметрами отрезка на карте. Оба способа дают одинаковый результат, поскольку в числителе и знаменателе сравниваются одни и те же виды величин.

Четыре контрольные проверки без нового вычисления

• Если 5 см соответствуют 2,5 км, то вдвое больший отрезок на той же карте (10 см) соответствует 5 км. Это проверяет пропорциональность, но не меняет масштаб.
• При масштабе 1 : 25 000 каждые 4 см обозначают 1 км. Для пары «3 см — 0,75 км» совпадение на один сантиметр доказывает верность результата.
• Масштаб не имеет единицы после знаменателя: запись «1 : 50000 км» неверна. Правильно «1 : 50 000» либо именованная запись «1 см — 500 м».
• У одного неизменённого плана одинаковая реальная длина обязана иметь одинаковую длину изображения. Если разные направления дают разные коэффициенты, нельзя объявлять карту точной без дополнительной проверки.

Обратите внимание на задания 14 и 15: там реальные расстояния малы, поэтому N может оказаться равным 500 или 50. Это не ошибка и не повод дописывать нули. Масштабы плана двора и географической карты различаются потому, что изображаемые объекты разных размеров. Пересчитайте в сантиметры: 0,024 км равны 2400 см, при отрезке 4,8 см знаменатель 2400 : 4,8 = 500. А 0,0025 км равны 250 см, при отрезке 5 см — знаменатель 50.

Особенно полезно обсудить точность измерения. Если на бумаге получилось примерно 3 см, а реальное расстояние оценено как примерно 4,5 км, записывать масштаб 1 : 150 000 как абсолютно точный некорректно. В этом рабочем листе все исходные величины считаются точными специально, чтобы ученик тренировал отношение двух длин. На настоящей карте приблизительный характер исходных измерений нужно указать в ответе.

Пограничные случаи — две задачи на смысл масштаба

17. На одном и том же равномерно уменьшенном плане отрезок АБ длиной 3 см соответствует 4,5 км, а отрезок ВГ длиной 4 см — 4 км. Можно ли записать один численный масштаб, точно согласующий оба измерения? Объясните без округления.
18. На репродукции карты отрезок увеличили в 2 раза при печати, но подписанный масштаб 1 : 100 000 оставили без изменения. Если на увеличенной копии измерено 8 см, какова действительная длина при равномерном увеличении исходной карты?

Ключ к рабочему листу

17. Нельзя: из первой пары получается 4,5 × 100 000 : 3 = 150 000, из второй — 4 × 100 000 : 4 = 100 000. Единый масштаб противоречит данным; возможна ошибка измерения или искажение изображения.
18. После увеличения в 2 раза 8 см на копии соответствуют 4 см на исходной карте. При масштабе 1 : 100 000 это 4 км по прямой. Пользоваться старой подписью 1 : 100 000 непосредственно на увеличенной копии нельзя.

Почему при несогласии нельзя выбрать среднее? У двух пар отрезков различаются отношения, а равномерная карта требует единого отношения для всех пар. Без данных о точности измерений невозможно назвать «единственный верный» масштаб. В географических задачах расстояния между пунктами по прямой не обязаны совпадать с длиной дороги, поэтому сравнивать нужно величины одного и того же типа.

Критерии: 16 стандартных ответов и два задания на интерпретацию. В каждом стандартном задании проверяются преобразование единиц, деление и правильная запись 1 : N. В № 17 требуется обнаружить противоречие, а не насильно вычислить один масштаб; в № 18 — учесть увеличение при печати.