Два последовательных расхода разных долей остатка: задания от простого к сложному, 6 класс

Мини-тест: два расхода, два разных основания для дробей. В задачах за единицу сначала принимается весь запас. После первого расхода новая доля берётся уже от остатка, а не от первоначального количества. Записывайте две промежуточные величины: «после первого действия» и «после второго». На выполнение 25–30 минут.

Если было 150 м ткани, израсходовали 1/5 всего, а затем 1/4 оставшегося, то после первого шага осталось 150 · 4/5 = 120 м. После второго — 120 · 3/4 = 90 м. Второй расход — 30 м, но он не равен 150 · 1/4. Правило: конечный остаток N · (1 − a) · (1 − b), где a и b — две разные доли расхода. Для обратной задачи делим конечный остаток на оба множителя.

Раунд 1. Выберите формулу и обоснуйте ответ (1–4)

1. Запас 120 кг. Сначала истратили 1/4 первоначального, затем 1/3 остатка. Выберите формулу конца: А) 120·(1−1/4−1/3); Б) 120·(3/4)·(2/3); В) 120·(1/4)·(1/3). Вычислите.
2. Из 144 тетрадей израсходовали треть, потом четверть того, что осталось. Сколько тетрадей ушло именно во второй раз?
3. После расхода 2/5 первоначального и 1/6 остатка сохранилось 90 л. Было 180 л. Верно ли утверждение? Проверьте по действиям.
4. Первый расход составил 1/4 запаса, второй — 2/5 получившегося остатка. Какая доля первоначального запаса осталась?

Раунд 2. Рассчитайте два последовательных остатка (5–10)

5. В ящике яблок было 168 шт. Потратили 1/7 всего, затем 1/4 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.
6. В наборе деталей было 210 шт. Потратили 2/7 всего, затем 1/5 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.
7. В парке саженцев было 192 шт. Потратили 3/8 всего, затем 1/5 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.
8. В коллекции карточек было 225 шт. Потратили 1/5 всего, затем 1/3 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.
9. В складе риса было 280 кг Потратили 1/5 всего, затем 1/8 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.
10. В баке воды было 360 л Потратили 1/4 всего, затем 2/9 оставшегося. Найдите количество после каждого расхода и суммарную трату.

Раунд 3. Восстановите целое из конечного остатка (11–14)

11. После двух расходов — сначала 1/3 первоначального количества, потом 2/7 остатка — осталось 100 кг Сколько было сначала? Покажите обратный расчёт.
12. После двух расходов — сначала 1/6 первоначального количества, потом 2/5 остатка — осталось 180 л Сколько было сначала? Покажите обратный расчёт.
13. После двух расходов — сначала 1/4 первоначального количества, потом 2/5 остатка — осталось 108 м Сколько было сначала? Покажите обратный расчёт.
14. После двух расходов — сначала 1/3 первоначального количества, потом 1/4 остатка — осталось 72 шт. Сколько было сначала? Покажите обратный расчёт.

Раунд 4. Объясните ошибку (15–16)

15. Дано 240 м ленты. Истратили 1/4 всего, затем 1/3 остатка. Ученик вычислил 240·(1−1/4−1/3)=100 м. Почему ответ неверен, сколько метров осталось?
16. «После двух расходов по 1/2 осталось 0% запаса», — написал ученик. Найдите настоящую оставшуюся долю и объясните, почему нельзя просто сложить 1/2+1/2.

Лист ответов — полный ключ и проверка

1. №1. Б: 120·3/4·2/3 = 60 кг. А ошибочно вычитает две доли от одного и того же целого; В вычисляет не остаток.
2. №2. 144·2/3 = 96; 96·1/4 = 24 тетради. Неверно брать четверть от 144.
3. №3. Да: 180·3/5=108 л, 108·5/6=90 л. Оба остатка неотрицательны.
4. №4. (3/4)·(3/5)=9/20 первоначального запаса. Это 45%, а не 1−1/4−2/5=7/20.
5. №5. После первого: 168·(1−1/7)=144 шт. После второго: 144·(1−1/4)=108 шт. Всего истратили 60 шт.; проверка: расход + остаток = 168 шт.
6. №6. После первого: 210·(1−2/7)=150 шт. После второго: 150·(1−1/5)=120 шт. Всего истратили 90 шт.; проверка: расход + остаток = 210 шт.
7. №7. После первого: 192·(1−3/8)=120 шт. После второго: 120·(1−1/5)=96 шт. Всего истратили 96 шт.; проверка: расход + остаток = 192 шт.
8. №8. После первого: 225·(1−1/5)=180 шт. После второго: 180·(1−1/3)=120 шт. Всего истратили 105 шт.; проверка: расход + остаток = 225 шт.
9. №9. После первого: 280·(1−1/5)=224 кг После второго: 224·(1−1/8)=196 кг Всего истратили 84 кг; проверка: расход + остаток = 280 кг
10. №10. После первого: 360·(1−1/4)=270 л После второго: 270·(1−2/9)=210 л Всего истратили 150 л; проверка: расход + остаток = 360 л
11. №11. Начальное количество: 100 : (1−2/7) : (1−1/3) = 210 кг Проверка: 210 → 140 → 100 кг
12. №12. Начальное количество: 180 : (1−2/5) : (1−1/6) = 360 л Проверка: 360 → 300 → 180 л
13. №13. Начальное количество: 108 : (1−2/5) : (1−1/4) = 240 м Проверка: 240 → 180 → 108 м
14. №14. Начальное количество: 72 : (1−1/4) : (1−1/3) = 144 шт. Проверка: 144 → 96 → 72 шт.
15. №15. Вторую треть нужно брать от 240·3/4 = 180 м, а не от 240 м. Осталось 180·2/3 = 120 м. Ошибка смешала основания долей.
16. №16. После первого расхода 1/2 целого; после второго остаётся половина от половины, то есть 1/4 первоначального запаса. Потрачено 3/4.

Самооценка: 16 заданий, по 1 баллу за верное число и по 1 баллу за пояснение основания каждой доли или обратную проверку; максимум 32. Считайте полностью выполненным задание только с единицами измерения. Для задач о штуках промежуточные ответы должны быть целыми числами; в этом тесте числа подобраны так, чтобы условие выполнялось. Если расчёт дал отрицательный остаток, нарушена модель задачи.

Главный вывод. Разные доли двух последовательных расходов не складываются напрямую: при каждом новом действии меняется целое, от которого берётся дробь. Формула произведения оставшихся долей позволяет и проверить прямой расчёт, и восстановить исходный запас по известному концу.