Нахождение первой доли по известному конечному остатку — тренажёр по математике, 6 класс

Исследовательский тренажёр. Неизвестно, какая доля первоначального запаса была потрачена первой. Зато известно исходное количество, конечный остаток и какая доля промежуточного остатка ушла во второй раз. Здесь не требуется находить первоначальный запас: он уже дан. Надо определить дробь первого расхода.

Наблюдение на числовой модели

Было 180 л. Сначала потратили неизвестную долю x, затем 1/4 оставшегося. После этого осталось 90 л. Развернём ситуацию в обратную сторону: до второго расхода находилось 90 : (3/4) = 120 л. Значит, в первый раз потратили 180−120=60 л, то есть 60/180 = 1/3 начального объёма.

Альтернативная запись: 180·(1−x)·3/4=90. Делим на 180·3/4 (положительное число), получаем 1−x = 2/3 и x=1/3. Дробь x измеряет часть исходного количества. Дробь 1/4 относится к запасу после первой траты, поэтому эти две дроби нельзя без пояснений вычитать из единицы.

Гипотеза, которую нужно проверить

Если исходная величина N больше нуля, известная доля второго расхода b находится между 0 и 1, а конечный остаток R задан, то x = 1 − R/[N(1−b)]. Решение физически допустимо при 0 ≤ R ≤ N(1−b). Если R больше указанного предела, первая «трата» стала бы отрицательной — исходные данные противоречивы. Когда N не дано, чаще всего однозначно найти x нельзя.

Проверка формулы на разных исходных данных (1–3)

1. Изначально 180 л, после неизвестной первой траты и расхода 1/4 промежуточного запаса осталось 90 л. Определите x двумя способами.
2. Первоначально 100 кг, второй раз потратили 1/5 остатка, в конце 80 кг. Какую часть потратили первой?
3. Первоначально 120 книг, во второй раз израсходовали 1/4 промежуточного количества, в конце 100 книг. Существует ли допустимая первая доля?

Вывод через набор опытов: найдите первую долю (4–11)

Для каждого номера из таблицы запишите цепочку R → остаток до второго расхода → сколько ушло в первый раз → первая доля. Сохраняйте указанные единицы в тетради.

4. Было 240 л воды; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/3 остатка. В конце 120 л воды. Найдите первую долю x и первый расход.
5. Было 200 кг крупы; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/4 остатка. В конце 90 кг крупы. Найдите первую долю x и первый расход.
6. Было 168 шт. деталей; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/4 остатка. В конце 108 шт. деталей. Найдите первую долю x и первый расход.
7. Было 225 листов бумаги; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/3 остатка. В конце 120 листов бумаги. Найдите первую долю x и первый расход.
8. Было 360 кг зерна; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 2/5 остатка. В конце 180 кг зерна. Найдите первую долю x и первый расход.
9. Было 192 м ленты; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/5 остатка. В конце 96 м ленты. Найдите первую долю x и первый расход.
10. Было 210 шт. жетонов; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/5 остатка. В конце 120 шт. жетонов. Найдите первую долю x и первый расход.
11. Было 280 кг сахара; после первой неизвестной траты во второй раз израсходовали 1/8 остатка. В конце 196 кг сахара. Найдите первую долю x и первый расход.

Граничные случаи и достаточность данных (12–15)

12. Известно только, что второй расход равнялся 1/3 промежуточного количества, а конечный остаток — 80 кг. Можно ли однозначно найти первую долю без исходной массы?
13. Начало 90 м, второй расход 1/3 промежуточного остатка, конец 0 м. Сколько составила первая доля?
14. Начало 150 м, после первого расхода ушла ещё половина остатка, конец 30 м. Ученик написал x=1−30/150=4/5. Исправьте ошибку.
15. Начало 200 шт., в конце 90 шт., во второй раз потратили 2/5 оставшегося после первого. Верна ли первая доля 1/4?

Ответы и комментарии к гипотезе

1. №1. До второго расхода: 90:3/4=120 л; первая трата 180−120=60 л; x=60/180=1/3. Через уравнение: 180(1−x)·3/4=90, x=1/3.
2. №2. До второго расхода было 80:4/5=100 кг; первый расход 0 кг, значит x=0. Нулевая доля допустима, хотя слово «потратили» здесь условно.
3. №3. Нет: даже если первым расходом ничего не убрали, после второго могло остаться максимум 120·3/4=90 книг. Для 100 книг x был бы отрицательным.
4. №4. До второй траты было 120:(1−1/3)=180 л воды. Первая трата: 240−180=60 л воды; её доля x=1/4. Прямая проверка: 180·(1−1/3)=120 л воды.
5. №5. До второй траты было 90:(1−1/4)=120 кг крупы. Первая трата: 200−120=80 кг крупы; её доля x=2/5. Прямая проверка: 120·(1−1/4)=90 кг крупы.
6. №6. До второй траты было 108:(1−1/4)=144 шт. деталей. Первая трата: 168−144=24 шт. деталей; её доля x=1/7. Прямая проверка: 144·(1−1/4)=108 шт. деталей.
7. №7. До второй траты было 120:(1−1/3)=180 листов бумаги. Первая трата: 225−180=45 листов бумаги; её доля x=1/5. Прямая проверка: 180·(1−1/3)=120 листов бумаги.
8. №8. До второй траты было 180:(1−2/5)=300 кг зерна. Первая трата: 360−300=60 кг зерна; её доля x=1/6. Прямая проверка: 300·(1−2/5)=180 кг зерна.
9. №9. До второй траты было 96:(1−1/5)=120 м ленты. Первая трата: 192−120=72 м ленты; её доля x=3/8. Прямая проверка: 120·(1−1/5)=96 м ленты.
10. №10. До второй траты было 120:(1−1/5)=150 шт. жетонов. Первая трата: 210−150=60 шт. жетонов; её доля x=2/7. Прямая проверка: 150·(1−1/5)=120 шт. жетонов.
11. №11. До второй траты было 196:(1−1/8)=224 кг сахара. Первая трата: 280−224=56 кг сахара; её доля x=1/5. Прямая проверка: 224·(1−1/8)=196 кг сахара.
12. №12. Нельзя. Перед вторым расходом 80:2/3=120 кг. При начальных 150 кг первая доля 30/150=1/5, а при начальных 160 кг — 40/160=1/4. Оба варианта дают 80 кг.
13. №13. x=1: после первого действия осталось 0 м, второй расход от нулевого остатка также 0 м. Если условие требует строго положительного второго расхода, задача не имеет подходящего решения.
14. №14. Ученик принял конечный остаток за остаток первого шага. На самом деле перед вторым было 30:(1/2)=60 м. Первая доля (150−60)/150=90/150=3/5. Проверка: 150·2/5·1/2=30 м.
15. №15. Да: после первой траты остаётся 200·3/4=150 шт., второй расход 150·2/5=60 шт.; конец 90 шт. Следовательно x=1/4.

Результат наблюдений: во всех корректных положительных примерах формула даёт 0 ≤ x ≤ 1; в пункте 3 из-за противоречивых данных она выходит за допустимые границы, а в пункте 12 недостаточно исходных сведений. Именно это отличает математическую модель от формального деления чисел. Если задача про предметы, проверяйте не только дробь x, но и целочисленность промежуточного числа предметов.