Разделение общего количества между тремя участниками по долям — карточки с ответами, 6 класс

Карточки на распределение целого между тремя участниками. Каждый получает свою долю одного и того же общего количества. Если доли равны a, b и c и всё распределено без остатка, обязательно a+b+c=1. Если известны только две доли, третья равна 1−a−b. Не путайте выражение «каждому долю всего» с делением в отношении 2:3:5: это разные формулировки.

Пример: из 240 альбомов первый получил 1/4, второй — 1/3, третий — оставшиеся. Третья доля: 1−1/4−1/3=5/12. В штуках это 60, 80 и 100. Проверка 60+80+100=240 и 1/4+1/3+5/12=1. Если общий набор состоит из неделимых предметов, все найденные количества должны быть целыми.

Серия А — найдите все три выдачи по двум долям (1–8)

1. Общий запас 120 плакатов. Первый участник получил 1/3 всего, второй — 1/4 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
2. Общий запас 180 тетрадей. Первый участник получил 2/9 всего, второй — 1/3 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
3. Общий запас 210 карандашей. Первый участник получил 2/7 всего, второй — 1/5 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
4. Общий запас 96 марок. Первый участник получил 1/8 всего, второй — 3/8 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
5. Общий запас 144 наклеек. Первый участник получил 5/12 всего, второй — 1/4 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
6. Общий запас 240 билетов. Первый участник получил 3/10 всего, второй — 1/5 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
7. Общий запас 300 кг крупы. Первый участник получил 1/6 всего, второй — 2/5 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.
8. Общий запас 168 м ткани. Первый участник получил 1/7 всего, второй — 3/8 всего, третий — остальное. Найдите его долю и все три количества.

Серия Б — неизвестно целое или часть (9–16)

9. Первому досталось 1/4 всех блокнотов, это 45 штук. Второму — 1/5 всего. Сколько досталось третьему?
10. Из 360 л сока первый участок получил 1/6, третий — 1/4, а второй — остаток. Найдите долю второго и литры каждого.
11. В трёх классах распределили 280 наборов. Первый получил 3/7, второй — 1/4, третий — остаток. Сколько наборов у третьего?
12. Третья команда получила 42 сувенира, что составляет 7/24 общего числа. Первая получила 1/3 всех, вторая — остальные. Найдите все выдачи.
13. Один участник забрал 5/12, другой — 1/4 всего запаса. Третьему досталось 20 кг. Каков общий вес?
14. Среди трёх друзей 162 коллекционные карточки. Один получил 2/9, другой — 1/3, третий — остальные. Какая разность между третьим и первым?
15. Три группы получили по 1/2, 1/3 и 1/4 всех печений. Возможна ли такая раздача без повторного подсчёта печений?
16. Первому и второму отвели по 2/5 общего поля, третьему — остальное. Площадь поля 75 м². Найдите доли и площади всех участников.

Серия В — анализ ограничений и самостоятельные карточки (17–24)

17. Всего 84 мяча. Первому выделено 1/3, второму — 1/2, третьему — остаток. Сколько мячей у каждого?
18. Для 90 л краски назначены доли 1/5, 2/9 и остальное. Сколько литров третьей бригаде?
19. Общий запас 110 карандашей; первому 1/2, второму 1/5, третьему остаток. Запишите три целых количества.
20. Первому выделили 3/10 урожая, второму 1/5, третьему 35 кг. Сколько килограммов было всего?
21. Из 180 жетонов первый получил 4/9, второй — 1/6, третий — оставшиеся. Сколько жетонов у третьего?
22. Есть 50 неразрезаемых книг. Требуется выдать 1/3 первому, 1/3 второму и 1/3 третьему. Можно ли выполнить требование точно в целых книгах?
23. Первый получил 1/8, второй — 3/8, третий — половину. Всего 64 штуки. Есть ли нераспределённый остаток?
24. Третьей команде досталось 27 наклеек, или 3/10 от общего числа. Первой — 2/5, второй — остаток. Найдите числа для каждой.

Ответы и проверка всех 24 карточек

1. №1. Третья доля 1−1/3−1/4=5/12. Получили 40, 30, 50 плакатов Проверка: 120 = 120 плакатов.
2. №2. Третья доля 1−2/9−1/3=4/9. Получили 40, 60, 80 тетрадей Проверка: 180 = 180 тетрадей.
3. №3. Третья доля 1−2/7−1/5=18/35. Получили 60, 42, 108 карандашей Проверка: 210 = 210 карандашей.
4. №4. Третья доля 1−1/8−3/8=1/2. Получили 12, 36, 48 марок Проверка: 96 = 96 марок.
5. №5. Третья доля 1−5/12−1/4=1/3. Получили 60, 36, 48 наклеек Проверка: 144 = 144 наклеек.
6. №6. Третья доля 1−3/10−1/5=1/2. Получили 72, 48, 120 билетов Проверка: 240 = 240 билетов.
7. №7. Третья доля 1−1/6−2/5=13/30. Получили 50, 120, 130 кг крупы Проверка: 300 = 300 кг крупы.
8. №8. Третья доля 1−1/7−3/8=27/56. Получили 24, 63, 81 м ткани Проверка: 168 = 168 м ткани.
9. №9. Всего 45:1/4=180 блокнотов. Второму 180/5=36, третьему 180−45−36=99. Доли: 1/4,1/5,11/20; сумма 1.
10. №10. Второй получил 1−1/6−1/4=7/12 всего. Объёмы 60 л, 210 л и 90 л; 60+210+90=360 л.
11. №11. Третья доля 1−3/7−1/4 = 9/28. Получили 120, 70 и 90 наборов, всего 280.
12. №12. Всего 42:7/24=144. Первая получила 48, третья 42, вторая 144−48−42=54 штуки, то есть 3/8 всего.
13. №13. Третья доля 1−5/12−1/4=1/3. Всего 20:1/3=60 кг. Первому 25 кг, второму 15 кг, третьему 20 кг.
14. №14. Доли 2/9,3/9,4/9; количества 36,54,72. Разность 72−36=36 карточек.
15. №15. Нет: 1/2+1/3+1/4=13/12 > 1. Нельзя распределить больше целого, если предметы не считаются повторно.
16. №16. Доля третьего 1−2/5−2/5=1/5. Площади 30, 30 и 15 м²; сумма 75 м².
17. №17. 28, 42 и 14; остаточная доля 1/6. Проверка: 28+42+14=84.
18. №18. Третья доля 1−1/5−2/9=26/45. Объёмы 18 л, 20 л, 52 л; сумма 90 л.
19. №19. 55, 22, 33 карандаша; доля третьего 3/10. Сумма 110.
20. №20. Третья доля 1−3/10−1/5=1/2. Всего 35:1/2=70 кг; выдачи 21,14,35 кг.
21. №21. Доля третьего 1−4/9−1/6=7/18; это 70 жетонов. Остальные 80 и 30; сумма 180.
22. №22. Нет: 50/3 не является целым. Доли суммируются в 1, но книга неделима, поэтому точное распределение невозможно.
23. №23. Нет. 1/8+3/8+1/2=1; выдали 8,24,32 штуки. Всё распределено.
24. №24. Всего 27:3/10=90. Первой 36, третьей 27, второй 90−36−27=27. Доли 2/5,3/10,3/10.

Полезная привычка: выполняйте две независимые проверки — сложите доли (должна получиться 1) и сложите выданные количества (должно получиться исходное целое). При обратной задаче исходное количество должно быть положительным; при выдаче книг, карандашей и других неделимых предметов полученные количества должны быть целыми. Если данные приводят к превышению единицы или дробному числу целых предметов, нужно не округлять тайком, а указать противоречие.