Определение неизвестной дроби по сумме частей — тренажёр по математике, 6 класс

Проверочная работа: неизвестная доля в сумме частей. В каждом равенстве дроби обозначают части одного и того же целого. Буква x — неизвестная доля, а не количество предметов. Если все части целого перечислены полностью и не перекрываются, их сумма равна 1. В задачах, где известна только доля некоторой области, сумма может быть меньше 1; это специально оговорено.

Пример: 1/6 + x + 1/4 = 1. Приведём к двенадцатым: 2/12 + x + 3/12 = 12/12, значит x=7/12. Проверка 1/6+7/12+1/4=2/12+7/12+3/12=1. Если x описывает часть целого, допустимо только 0 ≤ x ≤ 1. Корни, нарушающие это условие, нужно отвергнуть.

Базовый уровень — найдите одну неизвестную дробь (1–10)

1. Найдите дробь x из равенства 1/6 + x + 1/3 = 1. Проверьте сложением.
2. Найдите дробь x из равенства 2/9 + x + 1/6 = 1. Проверьте сложением.
3. Найдите дробь x из равенства 3/10 + x + 1/5 = 1. Проверьте сложением.
4. Найдите дробь x из равенства 5/12 + x + 1/4 = 1. Проверьте сложением.
5. Найдите дробь x из равенства 7/20 + x + 1/10 = 1. Проверьте сложением.
6. Найдите дробь x из равенства 2/7 + x + 1/14 = 1. Проверьте сложением.
7. Найдите дробь x из равенства 1/8 + x + 5/16 = 1. Проверьте сложением.
8. Найдите дробь x из равенства 3/11 + x + 2/11 = 1. Проверьте сложением.
9. Найдите дробь x из равенства 1/5 + x + 2/15 = 4/5. Проверьте сложением.
10. Найдите дробь x из равенства 3/8 + x + 1/6 = 7/8. Проверьте сложением.

Повышенный уровень — повторяющиеся неизвестные части (11–16)

11. Все перечисленные части вместе составляют 1 целого: 2x + 1/4 = 1. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?
12. Все перечисленные части вместе составляют 1 целого: 3x + 1/10 = 1. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?
13. Все перечисленные части вместе составляют 1 целого: 2x + 2/7 = 1. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?
14. Все перечисленные части вместе составляют 1 целого: 4x + 1/3 = 1. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?
15. Все перечисленные части вместе составляют 4/5 целого: 3x + 1/5 = 4/5. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?
16. Все перечисленные части вместе составляют 11/12 целого: 2x + 5/12 = 11/12. Найдите x; сколько занимают все неизвестные части вместе?

Анализ условий, проверка границ и ошибок (17–20)

17. Задано 3/4 + x + 2/5 = 1. Назовите формальное x и объясните, допустима ли такая часть целого.
18. «1/3 + x + y = 1, значит x=1/3», — написал ученик. Можно ли однозначно вычислить x? Приведите два допустимых набора.
19. Ученик решает 1/4 + x + 1/6 = 1 так: x=1/4+1/6=5/12. Найдите ошибку и верное значение.
20. Вся полоса разбита на три части: первая — 2/5, вторая — x, третья равна удвоенной второй. Определите x и проверьте суммарную долю.

Ответы с проверкой каждого уравнения

1. №1. x = 1−1/6−1/3 = 1/2. Проверка: 1/6+1/2+1/3=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
2. №2. x = 1−2/9−1/6 = 11/18. Проверка: 2/9+11/18+1/6=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
3. №3. x = 1−3/10−1/5 = 1/2. Проверка: 3/10+1/2+1/5=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
4. №4. x = 1−5/12−1/4 = 1/3. Проверка: 5/12+1/3+1/4=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
5. №5. x = 1−7/20−1/10 = 11/20. Проверка: 7/20+11/20+1/10=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
6. №6. x = 1−2/7−1/14 = 9/14. Проверка: 2/7+9/14+1/14=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
7. №7. x = 1−1/8−5/16 = 9/16. Проверка: 1/8+9/16+5/16=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
8. №8. x = 1−3/11−2/11 = 6/11. Проверка: 3/11+6/11+2/11=1. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
9. №9. x = 4/5−1/5−2/15 = 7/15. Проверка: 1/5+7/15+2/15=4/5. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
10. №10. x = 7/8−3/8−1/6 = 1/3. Проверка: 3/8+1/3+1/6=7/8. Доля допустима: 0 ≤ x ≤ 1.
11. №11. 2x=1−1/4=3/4; x=3/8, сумма неизвестных частей 2x=3/4. Проверка: 3/4+1/4=1.
12. №12. 3x=1−1/10=9/10; x=3/10, сумма неизвестных частей 3x=9/10. Проверка: 9/10+1/10=1.
13. №13. 2x=1−2/7=5/7; x=5/14, сумма неизвестных частей 2x=5/7. Проверка: 5/7+2/7=1.
14. №14. 4x=1−1/3=2/3; x=1/6, сумма неизвестных частей 4x=2/3. Проверка: 2/3+1/3=1.
15. №15. 3x=4/5−1/5=3/5; x=1/5, сумма неизвестных частей 3x=3/5. Проверка: 3/5+1/5=4/5.
16. №16. 2x=11/12−5/12=1/2; x=1/4, сумма неизвестных частей 2x=1/2. Проверка: 1/2+5/12=11/12.
17. №17. x=1−3/4−2/5=−3/20. Недопустимо: доля не может быть отрицательной, а известные части уже составляют 23/20>1. При непересекающихся частях решения нет.
18. №18. Нет, неизвестных два. Из равенства x+y=2/3 можно взять x=1/6, y=1/2 или x=1/3, y=1/3. Оба набора дают сумму 1; без дополнительного условия x не определено.
19. №19. Сумма известных частей 5/12, но x — дополнение до единицы: x=1−5/12=7/12. Проверка: 3/12+7/12+2/12=1.
20. №20. 2/5 + x + 2x = 1, значит 3x=3/5, x=1/5. Третья часть 2/5; сумма 2/5+1/5+2/5=1. Все части неотрицательны.

Критерии: 20 номеров. Для 1–16 обязательно покажите вычитание известных долей, сокращение результата и проверку исходного равенства. Для 17–20 важен вывод о допустимости результата и достаточности данных: отрицательная «доля» исключается, а если два неизвестных связаны только одним равенством, возможны разные решения. Максимум 40 баллов: 1 за математический ход и 1 за корректное обоснование или проверку в каждом номере.

Прежде чем засчитывать x, спросите: складываются ли непересекающиеся части одного целого? Если да, сумма должна соответствовать обозначенному целому. Для настоящих долей ограничение 0 ≤ x ≤ 1 обязательно. Отрицательная дробь может быть числом, но не допустимой долей физически распределённой вещи. Если известные доли перекрываются, простое сложение без уточнения модели может давать двойной счёт.