Свойство высоты к основанию равнобедренного треугольника — практикум с ответами для 7 класса

Обозначения для всех заданий: в треугольнике ABC стороны AB и AC равны, BC — основание, AD — высота к BC, D лежит на BC. Рисунок можно построить от руки: A сверху, B слева, C справа, D на основании. Никаких размеров по рисунку не считывайте.

Быстрая диагностика

Ответьте устно: (а) что означает AD ⟂ BC? (б) обязан ли D быть серединой BC в произвольном треугольнике? (в) чем отличаются высота, медиана и биссектриса?

Проверка: AD образует с BC прямой угол; в произвольном треугольнике точка D не обязана быть серединой; высота перпендикулярна стороне, медиана делит её пополам, биссектриса делит угол на равные углы.

Одно свойство — три вывода

Если AB = AC, то высота AD к основанию BC одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому BD = DC и ∠BAD = ∠DAC, а оба угла при D равны 90°. Важно: это высота к основанию, а не любая высота.

Обоснование: прямоугольные треугольники ABD и ACD имеют равные гипотенузы AB и AC и общий катет AD. Они равны по гипотенузе и катету; следовательно, соответственные стороны BD и DC, а также углы BAD и DAC равны. Если этот признак ещё не изучали, можно доказать равенство с помощью свойства оси симметрии равнобедренного треугольника после его обоснования.

Десять заданий без подсказок

1. BD = 7 см. Найдите DC и BC.
2. BC = 28 мм. Найдите BD и DC.
3. ∠BAC = 64°. Найдите ∠BAD и ∠DAC.
4. ∠DAC = 23°. Найдите угол BAC.
5. Каждый угол при основании равен 68°. Найдите угол A и его две части, образованные высотой.
6. Основание разделено точкой D на отрезки (3x + 1) см и (5x − 7) см. Найдите x, BD и BC.
7. Периметр ABC равен 50 см, AB = AC = 18 см. Найдите BD.
8. Два угла ABD и ACD имеют по 52°. Найдите угол BAD.
9. Ученик отметил точку E на BC так, что BE = EC, и провёл AE. Нужно ли отдельно доказывать, что AE ⟂ BC? Объясните.
10. В равнобедренном треугольнике провели высоту из вершины B к AC. Обязательно ли она делит AC пополам? Дайте обоснованный ответ.

Таблица самопроверки

Решения и три типичные ошибки

1. DC = 7 см, BC = 14 см: высота делит основание пополам.
2. BD = DC = 14 мм: 28 : 2 = 14.
3. По 32°: 64 : 2 = 32.
4. 46°: 23 · 2 = 46.
5. Угол A = 180° − 68° − 68° = 44°; каждую половину составляет 22°.
6. 3x + 1 = 5x − 7, значит 2x = 8, x = 4; BD = DC = 13 см и BC = 26 см. Проверка: 3·4+1 = 5·4−7 = 13.
7. BC = 50 − 18 − 18 = 14 см, BD = 7 см; все длины положительны.
8. ∠A = 180° − 52° − 52° = 76°; ∠BAD = 38°.
9. Да: E — середина основания, значит AE — медиана, а медиана к основанию равнобедренного треугольника также высота. Нужна ссылка на соответствующее доказанное свойство.
10. Нет. Равенство AB = AC выделяет основание BC, а не AC. У высоты к боковой стороне такого обязательного свойства нет. Например, при AB = AC = 5 и BC = 6 основание равно 6, и высота из B к AC не обязана попадать в середину AC.

Ошибка 1: половина боковой стороны вместо половины основания

Равны BD и DC; нельзя заключить, что AB = 2·AD или AC = 2·BD. Свойство касается именно основания.

Ошибка 2: забывают прямой угол

Высота AD перпендикулярна BC, а значит ∠ADB = ∠ADC = 90°, даже если нарисовано иначе.

Ошибка 3: переносят свойство на любой треугольник

Если AB ≠ AC, высота к BC вообще не обязана быть медианой или биссектрисой. Обратные выводы требуют отдельных условий.