Доказательство равенства углов при пересечении отрезков — задания на закрепление, 7 класс

Упражнения посвящены только углам при пересечении отрезков. Пусть отрезки AC и BD пересекаются во внутренней точке O: A, O, C лежат на одной прямой, B, O, D — на другой. Возникают четыре угла AOB, BOC, COD, DOA; противоположные называются вертикальными.

Метод: от смежных углов к вертикальным

У смежных углов сумма 180°. Например, ∠AOB + ∠BOC = 180° и ∠BOC + ∠COD = 180°. Вычитая равенства, получаем ∠AOB = ∠COD. Аналогично ∠BOC = ∠DOA. Это доказательство работает при любом пересечении двух прямых, в том числе если они перпендикулярны.

Осторожно: не всякие углы с общей вершиной равны. Обязательно проверьте, что стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Три разобранных примера

1. Пример 1. ∠AOB = 47°. Вертикальный ∠COD = 47°, а каждый смежный с ним угол равен 180° − 47° = 133°. Проверка: 47° + 133° = 180°.
2. Пример 2. ∠BOC = 124°. Тогда ∠DOA = 124°, а ∠AOB = ∠COD = 56°. Отрезки обязательно должны иметь общую внутреннюю точку O.
3. Пример 3. ∠AOB = 3x + 8°, ∠COD = 5x − 16°. Это вертикальные углы, поэтому 3x + 8 = 5x − 16; x = 12, величины обоих углов равны 44°. Значение находится из равенства углов, не из их суммы.

Задачи с частичными подсказками

1. ∠AOB = 29°. Найдите ∠COD и ∠BOC. Подсказка: используйте равенство вертикальных углов.
2. ∠BOC = 143°. Найдите ∠DOA и ∠AOB. Подсказка: запишите сумму смежных углов 180°.
3. ∠COD = 95°. Найдите три остальных угла. Подсказка: сначала установите, какие углы противоположны.
4. ∠DOA = 61°. Найдите сумму углов AOB и COD. Подсказка: используйте равенство вертикальных углов.
5. ∠AOB = 2x + 15°, ∠COD = 4x − 19°. Найдите x. Подсказка: запишите сумму смежных углов 180°.
6. ∠AOB = 3y + 9°, ∠BOC = 5y + 11°. Найдите y. Подсказка: сначала установите, какие углы противоположны.
7. ∠BOC = 7k − 13°, ∠DOA = 4k + 38°. Найдите k. Подсказка: используйте равенство вертикальных углов.
8. Прямые AC и BD перпендикулярны. Можно ли получить все четыре угла, зная лишь это? Подсказка: запишите сумму смежных углов 180°.

Самостоятельное доказательство и нестандартные случаи

1. Угол AOB увеличили мысленно на 12°, оставив AC и BD прямыми. На сколько изменится угол COD?
2. Угол BOC уменьшился с 138° до 120°. Как изменился угол COD?
3. Ученик утверждает: «∠AOB + ∠COD = 180°, потому что они вертикальные». Найдите ошибку.
4. Могут ли вертикальные углы составлять по 175°? Найдите два других угла.
5. Если ∠AOB = ∠BOC, чему равен каждый из четырёх углов?
6. Докажите одной строкой ∠BOC = ∠DOA, не используя рисунок на глаз.
7. Могут ли ∠AOB = 40°, а ∠COD = 52° при заданном пересечении?

Решения по шагам

1. 1. 29°; 151°: вертикальные равны, смежные дополняют до 180°.
2. 2. 143°; 37°.
3. 3. ∠AOB = 95°, ∠BOC = ∠DOA = 85°.
4. 4. 238°: каждый угол AOB и COD равен 119°.
5. 5. 2x + 15 = 4x − 19, x = 17; оба угла по 49°.
6. 6. Смежные углы: 8y + 20 = 180, y = 20; углы 69° и 111°.
7. 7. Вертикальные: 7k − 13 = 4k + 38, k = 17; оба угла по 106°.
8. 8. Да: каждый равен 90°.
9. 9. Увеличится на 12°: он вертикален углу AOB.
10. 10. Вырос с 42° до 60°, то есть на 18°.
11. 11. Вертикальные углы равны, их сумма не обязана быть 180°. Например, при 40° и 40° сумма 80°.
12. 12. Да; остальные по 5°.
13. 13. По 90°, поскольку равные смежные углы дают 180°.
14. 14. Оба угла дополняют ∠AOB до 180°; следовательно, равны.
15. 15. Нет: вертикальные углы обязаны совпадать.

Проверка логики доказательства

Слова «на рисунке одинаковые» не являются геометрическим доказательством. Достаточно указать, какие углы смежные, почему их суммы равны 180°, и почему вычитание общей части даёт равенство вертикальных углов. Если отрезки не пересекаются либо O — конечная точка, формулировку и чертёж следует проверить заново.

Как записать строгое доказательство в тетради

Требуется доказать ∠AOB = ∠COD. Укажите, что A, O, C лежат на одной прямой и B, O, D — на другой. Затем напишите два равенства: ∠AOB + ∠BOC = 180° и ∠BOC + ∠COD = 180°. Правые части равны, поэтому и левые части равны. Вычтите из них общий угол BOC. Останется нужное равенство. Здесь нет ни одного шага «по виду рисунка».

Чтобы доказать вторую пару, используйте ∠BOC + ∠AOB = 180° и ∠AOB + ∠AOD = 180°. Вычитая ∠AOB, получаете ∠BOC = ∠AOD. Таким образом доказаны обе пары. Если линии пересекаются под прямым углом, доказательство остаётся верным, а все четыре угла равны 90°.

Равные вертикальные углы иногда ошибочно принимают за смежные. Представьте два угла по 40°: они могут лежать напротив друг друга и быть вертикальными; вместе они дают 80°, а не 180°. Угол, примыкающий сбоку к одному из них, равен 140°. Для выбора правила сначала определите расположение сторон углов, а уже затем считайте.

Самопроверка на логические ошибки

1. Перечертите две пересекающиеся прямые в очень неудобном наклонном положении. Объясните, почему равенство вертикальных углов всё равно сохранится. Ответ: доказательство зависит от развёрнутого угла 180°, а не от поворота рисунка.
2. Кто-то получил x = 17 в задании 5, но записал величину вертикального угла 17°. Верно ли это? Ответ: нет, 17 — значение переменной; величина угла равна 2·17+15 = 49°.
3. Почему задача 6 решается суммой, а задача 7 — равенством? Ответ: в задаче 6 названные углы смежные, а в задаче 7 вертикальные; выбор зависит от геометрического отношения, не от наличия буквы.
4. Если два отрезка касаются только концами, допустимо ли без проверки утверждать, что нарисованы две пары вертикальных углов? Ответ: нет; нужно установить продолжения обеих прямых через общую точку.

После вычисления каждого угла сделайте два независимых контроля: противоположные должны совпадать, а соседние — давать 180°. Если выполнен лишь один из двух тестов, возможно, вы перепутали названия AOB, BOC, COD и DOA.