Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам — рабочий лист для 7 класса

Рабочий лист по построению треугольника, когда известны сторона AB и два угла, прилежащие к этой стороне: ∠A = α, ∠B = β. Нужны линейка и транспортир. Работайте в одной полуплоскости относительно прямой AB. Каждый верный чертёж проверяйте измерением исходной стороны и двух углов, а не предполагаемой длиной других сторон.

Существование и единственность

Треугольник можно построить, если AB > 0, 0° < α < 180°, 0° < β < 180° и α + β < 180°. Тогда третий угол γ = 180° − α − β положителен. Если сумма углов равна 180°, лучи не дают вершину обычного невырожденного треугольника; если больше 180°, такого треугольника не существует. По стороне и двум прилежащим углам треугольник однозначен с точностью до совмещения и зеркального отражения.

Шаги построения: 1) начертите AB указанной длины; 2) в одной полуплоскости постройте из A луч с углом α к AB; 3) из B постройте луч с углом β к BA в той же полуплоскости; 4) их точку пересечения обозначьте C; 5) отметьте измеренные стороны и углы. В разных полуплоскостях получится иная конфигурация, не соответствующая этому способу.

Три пограничных случая до практикума

1. AB = 5 см, α = 25°, β = 65°: сумма 90°, третий угол 90°, построение возможно.
2. AB = 4 см, α = 110°, β = 70°: сумма 180°, вершина C не образуется; треугольника нет.
3. AB = 7 см, α = 120°, β = 40°: сумма 160°, третий угол 20°, треугольник существует, хотя один угол тупой.

Уровень I. Постройте и определите третий угол (задания 1–16)

1. AB = 4 см, α = 35°, β = 65°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
2. AB = 6 см, α = 50°, β = 70°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
3. AB = 3 см, α = 80°, β = 45°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
4. AB = 5 см, α = 110°, β = 40°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
5. AB = 7 см, α = 90°, β = 55°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
6. AB = 8 см, α = 15°, β = 145°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
7. AB = 9 см, α = 76°, β = 104°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
8. AB = 4 см, α = 120°, β = 65°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
9. AB = 6 см, α = 40°, β = 40°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
10. AB = 7 см, α = 70°, β = 75°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
11. AB = 5 см, α = 100°, β = 79°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
12. AB = 3 см, α = 60°, β = 120°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
13. AB = 6 см, α = 25°, β = 130°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
14. AB = 8 см, α = 45°, β = 90°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
15. AB = 10 см, α = 89°, β = 89°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.
16. AB = 4 см, α = 0°, β = 50°. Укажите, возможен ли треугольник, постройте его при существовании и найдите γ.

Уровень II. Восемь задач на критическое чтение чертежа (17–24)

1. В чертеже дано AB = 0 см и α = 40°, β = 60°. Можно ли получить треугольник?
2. Ученику дана сторона 5 см и углы 30° и 50°, но он отложил при B угол к продолжению AB, а не к BA. Где ошибка?
3. Для AB = 6 см, α = 30°, β = 75° получились два чертежа по разные стороны AB. Разные ли это треугольники?
4. Как проверить построение AB = 8 см, α = 55°, β = 45° без измерения стороны AC?
5. При AB = 5 см, α = 45°, β = 45° какой вид треугольника получится?
6. Можно ли по стороне 7 см и углам 99° и 81° построить плоский треугольник?
7. Объясните, почему две разные точки C в одной полуплоскости не могут обе удовлетворять данным AB, α, β.
8. Дано AB = 9 см и α = 20°, β = 35°. Ученик записал γ = 135°. Проверьте.

Ответы к уровню I

1. 1. Возможен: γ = 180° − 35° − 65° = 80°. Постройте сторону 4 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
2. 2. Возможен: γ = 180° − 50° − 70° = 60°. Постройте сторону 6 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
3. 3. Возможен: γ = 180° − 80° − 45° = 55°. Постройте сторону 3 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
4. 4. Возможен: γ = 180° − 110° − 40° = 30°. Постройте сторону 5 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
5. 5. Возможен: γ = 180° − 90° − 55° = 35°. Постройте сторону 7 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
6. 6. Возможен: γ = 180° − 15° − 145° = 20°. Постройте сторону 8 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
7. 7. Невозможен: α + β = 180°, что не меньше 180°. Не подменяйте исходные углы другими.
8. 8. Невозможен: α + β = 185°, что не меньше 180°. Не подменяйте исходные углы другими.
9. 9. Возможен: γ = 180° − 40° − 40° = 100°. Постройте сторону 6 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
10. 10. Возможен: γ = 180° − 70° − 75° = 35°. Постройте сторону 7 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
11. 11. Возможен: γ = 180° − 100° − 79° = 1°. Постройте сторону 5 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
12. 12. Невозможен: α + β = 180°, что не меньше 180°. Не подменяйте исходные углы другими.
13. 13. Возможен: γ = 180° − 25° − 130° = 25°. Постройте сторону 6 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
14. 14. Возможен: γ = 180° − 45° − 90° = 45°. Постройте сторону 8 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
15. 15. Возможен: γ = 180° − 89° − 89° = 2°. Постройте сторону 10 см и два соответствующих луча; их пересечение — C.
16. 16. Невозможен: один из углов равен 0° и не может быть внутренним углом невырожденного треугольника. Не подменяйте исходные углы другими.

Разбор уровня II

1. 17. Нельзя: AB = 0 не задаёт сторону, вершины A и B совпадают.
2. 18. При вершине B нужно измерять внутренний угол между BA и BC. Угол к продолжению AB является внешним; его значение при правильном чертеже было бы 130°.
3. 19. Нет, они зеркально симметричны и равны по стороне и двум прилежащим углам; оба допустимы при выполнении в своей полуплоскости.
4. 20. Измерить AB, угол BAC и угол ABC; сумма с γ = 80° должна дать 180°. Измерение AC не требуется исходным условием.
5. 21. Равнобедренный прямоугольный: γ = 90°, а против равных углов лежат равные стороны AC = BC.
6. 22. Нет: сумма 180°, третий угол нулевой.
7. 23. Из A и B заданы два конкретных луча; у непараллельных лучей не более одной общей точки. Поэтому C единственна в данной полуплоскости.
8. 24. γ = 180° − 20° − 35° = 125°. Ошибка в вычитании: 20 + 35 = 55, а 180 − 55 = 125.

Проверка самостоятельного построения

• Убедитесь, что транспортир использован для обоих прилежащих углов при A и B, а не для их дополнений до 180°.
• Проверьте AB линейкой, а оба угла — транспортиром; небольшой разброс измерений связан с точностью чертежа, не с математической неоднозначностью.
• Если условие несовместно, запишите причину вместо произвольного треугольника.
• Отражённые чертежи одной и той же задачи считаются равными треугольниками, а не двумя принципиально разными решениями.

Почему сумма двух прилежащих углов — критерий существования

Из теоремы о сумме углов треугольника следует γ = 180° − (α + β). Внутренний угол при C должен быть строго положительным: точка C должна находиться вне прямой AB и образовывать настоящий треугольник. Поэтому при α + β = 180° третий угол равнялся бы нулю, а при большей сумме оказался бы отрицательным; такие геометрические объекты в школьной постановке не существуют.

Обратное тоже верно: если длина AB положительна и оба заданных угла положительны, причём их сумма меньше 180°, соответствующие лучи в одной полуплоскости пересекаются. Это обеспечивает существование вершины C. Ровно одна точка пересечения даёт единственность построения в выбранной полуплоскости. Отражение относительно прямой AB сохраняет все длины и углы, поэтому не нарушает единственности с точностью до равенства фигур.

Особенно внимательно работайте с тупым углом при A или B. Например, для α = 110° и β = 50° остаётся γ = 20°: такой треугольник допустим. Но при тех же α = 110° и β = 75° сумма достигает 185° — построение невозможно. Не нужно отвергать каждый тупой угол автоматически: решает именно сумма двух известных углов.