Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними — практикум с ответами для 7 класса

В этом практикуме известны две стороны, выходящие из одной вершины, и угол между ними. Для примера: AB = 6 см, AC = 4 см, ∠BAC = 70°. Это признак «две стороны и угол между ними» (SAS). Важно не перепутать его с двумя сторонами и произвольным углом: последний набор может не определять треугольник единственным образом.

Короткая инструкция для построения

1. Отметьте A, постройте при A угол заданной величины транспортиром; из вершины проведите два луча.
2. На первом луче отложите AB, на втором — AC, каждую длину по условию.
3. Соедините B и C. Если обе длины положительные, а угол строго между 0° и 180°, невырожденный треугольник существует и определён однозначно с точностью до отражения.
4. Проверьте обе длины и включённый угол; длину BC заранее подбирать не надо.

Шесть неправильных решений: найдите и исправьте

Сначала заполните последний столбец самостоятельно, затем сравните ответы в ключе.

Самостоятельная серия: построить, объяснить, проверить (7–18)

1. Постройте треугольник, где AB = 4 см, AC = 7 см, ∠A = 35°. Какие элементы надо проверить?
2. AB = 8 см, AC = 5 см, ∠A = 90°. Существует ли треугольник? Как он называется?
3. AB = 9 см, AC = 6 см, ∠A = 130°. Сколько классов равных треугольников удовлетворяют условию?
4. AB = 3 см, AC = 10 см, ∠A = 179°. Возможно ли построение?
5. AB = 5 см, AC = 8 см, ∠A = 180°. Существует ли обычный треугольник?
6. AB = 6 см, AC = 0 см, ∠A = 60°. Почему построение невозможно?
7. Строят AB = 5 см, AC = 5 см и ∠A = 40°. Назовите вид треугольника по сторонам.
8. Укажите, какая величина является включённой: AB = 7 см, BC = 4 см, ∠ABC = 75°.
9. Условие: AB = 7 см, BC = 4 см, ∠BAC = 75°. Можно ли объявить его SAS?
10. Постройте ABC при AB = 2,5 см, AC = 5 см, ∠BAC = 110°. Чем отличается проверка от случая ASA?
11. В чертеже AB = 6 см, AC = 4 см, ∠A = 60°. Ученик увеличил AB до 7 см. Остался ли треугольник решением?
12. Заданы две стороны 4 и 9 см и включённый угол 30°. Может ли третья сторона быть 14 см?

Исправленные решения шести ошибок

1. 1. Угол между AB и AC находится при A. Исправление: строим угол BAC в вершине A, откладываем от A 5 и 7 см.
2. 2. Для ненулевого угла стороны AB и AC должны располагаться на разных лучах одного угла; иначе вершины B и C лежат на одном луче.
3. 3. 120° — тупой угол. Замена на смежный 60° меняет задачу. Нужно отложить именно 120°.
4. 4. При 0° оба луча совпадают; невырожденного треугольника нет. Правильный вывод — невозможность.
5. 5. Третья сторона определяется выбранными длинами и углом; подбирать её нельзя. Более того, по неравенству треугольника BC > |9 − 2| = 7 см.
6. 6. Отражение сохраняет стороны и угол; два чертежа равны, а не являются различными решениями по SAS.

Ключ к самостоятельной серии

1. 7. Из A откладываем угол 35° и стороны 4 и 7 см на его лучах. Проверяем AB, AC и ∠BAC.
2. 8. Да, прямоугольный при A: положительные стороны и угол 90° допустимы.
3. 9. Один класс с точностью до движения и отражения: построение по SAS определено.
4. 10. Да, угол меньше 180°, треугольник очень узкий, но невырожденный.
5. 11. Нет, вершины лежат на прямой, треугольник вырожден.
6. 12. Нулевая сторона недопустима: C совпадает с A.
7. 13. Равнобедренный: AB = AC; ∠B = ∠C = (180°−40°)/2 = 70°.
8. 14. Угол ABC при общей вершине B между сторонами BA и BC; это корректное условие SAS.
9. 15. Нет: угол BAC при A не между AB и BC. Данных для применения SAS недостаточно.
10. 16. Проверяются две стороны от A и угол между ними; третий угол не был задан и не нужен для проверки SAS.
11. 17. Нет: нарушено исходное значение AB = 6 см, даже если угол и AC остались верны.
12. 18. Нет: по неравенству треугольника BC < 4 + 9 = 13 см; независимо от угла 14 см невозможно.

Отличие SAS от двух других наборов данных

У двух сторон и угла между ними третья вершина закреплена однозначно. Если задан угол, лежащий напротив одной из сторон, возникает другая постановка: вершина может определяться неоднозначно или не существовать вовсе. Не утверждайте, что любой «угол плюс две стороны» автоматически даёт признак равенства. При построении отражение относительно луча тоже не создаёт новый по форме треугольник: зеркальные фигуры равны.

Когда условие кажется похожим, но даёт другую задачу

Сравните фразы «даны AB и AC и угол A» и «даны AB и AC и угол C». В первой угол лежит между известными сторонами, во второй — нет. Для первой построение очевидно: два луча образуют угол A и на каждом отмеряется известная длина. Во второй известные данные задают иное взаимное расположение: нельзя без доказательства сделать вывод по SAS. Именно поэтому в задании 15 надо назвать неверный выбор угла, а не пытаться угадать форму треугольника.

При переносе точки A на листе бумаги длины и величина угла не меняются. Если чертёж повёрнут или отражён, фигура остаётся равной исходной. Но если изменить хотя бы одну длину стороны или сам включённый угол, изменяется исходный набор данных; такой чертёж больше не является ответом. Полезный порядок проверки: подписать вершину общего угла, проверить обе выходящие из неё стороны, затем измерить заключённый между ними угол.