Расстояние от точки до прямой на простом чертеже — тренажёр по математике, 7 класс

В большинстве текстовых схем дана прямая l и точка A вне неё; одна задача специально рассматривает точку на прямой. Символ ⟂ означает прямой угол. Расстояние от точки A до прямой l — длина перпендикуляра AH, где H находится на l. Длина наклонного AB не заменяет AH. Единицы измерения в ответе обязательны.

Вариант 1 — восемь заданий

Фамилия, имя: _____________________ Дата: __________

Вариант 1

1. № 1. AH ⟂ l, H ∈ l; AH = 4 см, AB = 7 см, B ∈ l. Найдите расстояние от A до l. Решение: ______________________________
2. № 2. CK ⟂ m, K ∈ m; CK = 28 мм. Запишите расстояние в сантиметрах. Решение: ______________________________
3. № 3. Точка P расположена на 6 клеток над горизонтальной прямой a. Клетка имеет сторону 5 мм. Найдите расстояние. Решение: ______________________________
4. № 4. Прямая b вертикальна и проходит по x = 2; точка M(−3; 4). Каково расстояние в условных единицах? Решение: ______________________________
5. № 5. На чертеже TN = 9 см, TN ⟂ q, NR = 12 см и R ∈ q. Какова длина кратчайшего отрезка из T к q? Решение: ______________________________
6. № 6. Один ученик утверждает, что расстояние от F до l равно 8 см по наклонной FG; другой показывает FK ⟂ l с FK = 5 см. Кто прав? Решение: ______________________________
7. № 7. Точка E находится на прямой s. Найдите расстояние от E до s. Решение: ______________________________
8. № 8. AH = 45 мм и AH ⟂ l. Укажите расстояние в метрах. Решение: ______________________________

Вариант 2

1. № 1. QD ⟂ r и D ∈ r. QD = 3,6 см; QE = 5 см, E ∈ r. Каково расстояние? Решение: ______________________________
2. № 2. Прямая t горизонтальна с y = −2; точка V(7; 5). Определите расстояние. Решение: ______________________________
3. № 3. На миллиметровой бумаге AH занимает 18 мм. Запишите длину в сантиметрах. Решение: ______________________________
4. № 4. Прямая f вертикальна x = −4; точка S(3; −6). Найдите расстояние. Решение: ______________________________
5. № 5. Из точки L проведены LK = 2 см и LM = 2,5 см к прямой g. Известно, что LK ⟂ g. Что является расстоянием? Решение: ______________________________
6. № 6. Проекция точки B на горизонтальную прямую w отстоит на 11 клеток по вертикали. Масштаб: 1 клетка — 2 мм. Найдите расстояние. Решение: ______________________________
7. № 7. На чертеже угол между XH и прямой a равен 90°, XH = 0,24 м. Переведите расстояние в сантиметры. Решение: ______________________________
8. № 8. У точки N две наклонные к l по 13 см, а перпендикуляр NH = 12 см. Сколько составляет расстояние? Решение: ______________________________

Ключ для учителя и родителей

Ответы к варианту 1

1. № 1. 4 см: измеряют AH, не наклонную AB.
2. № 2. 2,8 см: 28 мм = 2,8 см.
3. № 3. 30 мм = 3 см: 6 · 5 = 30.
4. № 4. 5 единиц: |−3 − 2| = 5.
5. № 5. 9 см: кратчайший отрезок — перпендикуляр TN.
6. № 6. Второй: расстояние 5 см по перпендикуляру FK.
7. № 7. 0: точка принадлежит прямой; нулевая длина от точки до самой себя.
8. № 8. 0,045 м: 45 мм / 1000 = 0,045 м.

Ответы к варианту 2

1. № 1. 3,6 см: выбираем QD.
2. № 2. 7 единиц: |5 − (−2)| = 7.
3. № 3. 1,8 см: 18 / 10 = 1,8.
4. № 4. 7 единиц: |3 − (−4)| = 7.
5. № 5. 2 см: LK перпендикулярен прямой.
6. № 6. 22 мм = 2,2 см: 11 · 2.
7. № 7. 24 см: 0,24 · 100.
8. № 8. 12 см: две одинаковые наклонные не меняют длину перпендикуляра.

Критерии оценки

В каждом варианте 8 заданий. За верное значение и единицу — 1 балл; за верное обоснование выбора перпендикуляра или показанное вычисление там, где оно необходимо, — ещё 1 балл. Всего 16 баллов. 14–16 — отлично, 11–13 — хорошо, 8–10 — требуется повторение, меньше 8 — повторите правило и решите вариант ещё раз. В координатных задачах допускается ответ «единиц», если масштаб не задан.

Проверка смысла: для наклонных задач расстояние не должно превосходить показанную наклонную; если точка находится на прямой, расстояние равно нулю. Никакая дополнительная теорема для чтения готового перпендикуляра не требуется.

Как организовать самостоятельную проверку чертежа

Перед тем как записывать ответ, проведите указательным пальцем по двум отрезкам: от заданной точки до основания H и затем вдоль прямой. Угол у H должен составлять 90°. Если на схеме обозначено несколько отрезков, кратчайшим является тот, который перпендикулярен прямой. Наклонный отрезок может быть хорошо виден и даже иметь красивую круглую длину, но это не делает его расстоянием.

Для горизонтальной прямой y = c направление перпендикуляра вертикальное, поэтому у точки (x; y) расстояние равно модулю разности y − c. Для вертикальной прямой x = c, наоборот, сравнивают абсциссы: |x − c|. Знак модуля здесь важен: длина всегда неотрицательна, независимо от того, слева, справа, выше или ниже прямой расположена точка. При координатной сетке масштаб клеток учитывают отдельно.

Не путайте три вопроса: «какой отрезок перпендикулярен?», «сколько клеток между точкой и прямой?» и «сколько это сантиметров?». Сначала ответьте на первый, затем подсчитайте длину, а после переведите единицы. Такой порядок особенно помогает избежать ошибок с миллиметрами и метрами в обеих самостоятельных работах.