Сравнение частот двух выборок разного объёма: примеры и объяснения для 7 класса

В школьной библиотеке в два разных дня фиксировали, кто взял книгу по рекомендации библиотекаря. Число посетителей различалось, поэтому одни только количества успешных случаев сравнивать нельзя. Рассмотрим относительную частоту события: число случаев делят на число всех наблюдений в соответствующий день. Это описательная величина для данных наблюдений, а не гарантия результата в будущем.

Модель и разобранный пример

Обозначим N — объём наблюдений, k — число благоприятных случаев. Относительная частота f = k / N. Для потока A: 18 / 30 = 0,6 = 60%. Для потока B: 30 / 60 = 0,5 = 50%. У B больше случаев (30 против 18), но у A больше доля (60% против 50%). Разница долей равна 10 процентных пунктов, а не «10 посетителям».

Связанные задания по таблице

1. № 1. Сколько посетителей не воспользовались рекомендацией в потоке A? Место для ответа: ______________________
2. № 2. Сколько таких посетителей было в потоке B? Место для ответа: ______________________
3. № 3. Сравните абсолютные частоты положительного ответа A и B. Место для ответа: ______________________
4. № 4. Рассчитайте долю положительных ответов в потоке A дробью, десятичной записью и процентом. Место для ответа: ______________________
5. № 5. Аналогично найдите относительную частоту в потоке B. Место для ответа: ______________________
6. № 6. В каком потоке положительный ответ наблюдался чаще в расчёте на одного посетителя? На сколько процентных пунктов? Место для ответа: ______________________
7. № 7. Какой процент посетителей потока B не взяли книгу по рекомендации? Место для ответа: ______________________
8. № 8. Сколько положительных ответов должно было быть в потоке B при тех же 60 посетителях для доли 60%? Место для ответа: ______________________
9. № 9. Если в потоке A добавились ещё 10 посетителей, из которых 5 взяли книгу, как изменилась его доля? Место для ответа: ______________________
10. № 10. Представьте, что из потока B исключили 5 посетителей, ни один из которых не взял книгу. Какова новая доля? Место для ответа: ______________________
11. № 11. Если вместо 30 положительных ответов при N = 60 поток B получил бы 36, с каким потоком сравнялась бы доля? Место для ответа: ______________________
12. № 12. Третий поток C включал 20 посетителей; 12 взяли книгу. Сравните C с A. Место для ответа: ______________________
13. № 13. Ученик говорит: «В A лишь 18 случаев, в B целых 30, значит B точно эффективнее». Как исправить? Место для ответа: ______________________
14. № 14. Можно ли по этим двум дням без дополнительной информации утверждать, что в любой будущий день доля A непременно выше? Место для ответа: ______________________

Решения с проверкой единиц и выводов

№ 1. 30 − 18 = 12 посетителей.

№ 2. 60 − 30 = 30 посетителей.

№ 3. 18 и 30; в B на 12 положительных ответов больше, но это ещё не сравнение долей.

№ 4. 18/30 = 3/5 = 0,6 = 60%.

№ 5. 30/60 = 1/2 = 0,5 = 50%.

№ 6. В A; 60% − 50% = 10 процентных пунктов.

№ 7. 30/60 = 0,5 = 50%.

№ 8. 0,6 · 60 = 36. Это на 6 больше исходных 30; число посетителей не меняется.

№ 9. Теперь k = 18 + 5 = 23, N = 30 + 10 = 40; доля 23/40 = 0,575 = 57,5%.

№ 10. Положительных ответов 30, всего 60 − 5 = 55; 30/55 = 6/11 ≈ 54,55%.

№ 11. 36/60 = 0,6 = 60%, она сравнялась бы с исходной долей потока A.

№ 12. 12/20 = 0,6 = 60%; относительные частоты равны, хотя 12 ≠ 18 и 20 ≠ 30.

№ 13. Для выборок разных объёмов нужны доли: 18/30 = 60%, 30/60 = 50%; в данных доля A выше.

№ 14. Нет. Полученные проценты описывают только наблюдавшиеся выборки; условия и случайные колебания будущих дней могут изменить результат.

Контрольный разбор: что именно можно заключить

Самопроверка: во всех дробях знаменатель строго положительный и соответствует своему потоку; 0 ≤ k ≤ N, поэтому 0 ≤ f ≤ 1. Для чисел посетителей используем целые значения и единицу «человек», для относительной частоты — долю или проценты. В № 10 округление 54,55% указано явно; точное значение 6/11.

Почему разные объёмы меняют смысл сравнения

Представьте, что вы сравниваете два потока только по числу книг: 18 и 30. Второй поток вдвое многочисленнее первого. Даже если доли совпадали бы, абсолютное число случаев при большем объёме обычно было бы больше. Поэтому сравнение нужно нормировать: разделить число наблюдавшихся событий на число наблюдений внутри той же группы. Дробь 18/60 смешивает числитель одного потока со знаменателем другого и не имеет смысла как частота исходной группы A.

Разность 60% и 50% — именно 10 процентных пунктов. Если нужно выразить относительное увеличение доли B до доли A, можно дополнительно вычислить (60 − 50) / 50 = 0,2, то есть 20% по отношению к прежней доле B. Эти две фразы отвечают на разные вопросы. Для 7 класса важнее сначала безошибочно отличать проценты, процентные пункты и количество человек.

Подобные результаты полезны учителю и библиотекарю как описание наблюдений, но не дают права утверждать, что рекомендация неизменно эффективнее в утренние часы. Люди могли отличаться по возрасту, цели визита и интересам, а также число наблюдений ограничено. Нужны дополнительные сопоставимые дни и одинаковые условия учёта. Из наших данных математически следует только преимущество относительной частоты потока A в описанный период.

Контроль четырёх типичных ответов

• «B лучше, потому что 30 больше 18». Это сравнение абсолютных частот, а не долей. Для разных N оно не решает вопрос о более высокой доле.
• «В A 18%». Число 18 означает людей, а не проценты. Нужно делить: 18 / 30 · 100% = 60%.
• «Разница составляет 10 человек». Различие долей имеет единицу «процентные пункты», тогда как разность абсолютных частот равна 12 людям.
• «В следующем потоке обязательно будет 60%». Относительная частота вычислена по прошлым данным; будущий состав посетителей неизвестен.