Задача на прямоугольник с известными периметром и площадью — проверочная работа, 8 класс

В этой проверочной работе одновременно известны периметр и площадь прямоугольника. Нужно найти две положительные длины сторон, доказать существование фигуры и проверить результат в исходных единицах. Простого перебора прямоугольников с одной заданной площадью здесь недостаточно: условие на периметр отбирает единственную пару сторон с точностью до перестановки.

Образец решения с пограничными случаями

Пусть стороны a и b измеряются в сантиметрах, периметр P = 30 см, площадь S = 54 см². Тогда a + b = P/2 = 15 см, ab = 54 см². Подставляем b = 15 − a: a(15 − a) = 54, или a² − 15a + 54 = 0. Дискриминант 225 − 216 = 9; корни a = (15 ± 3)/2, то есть 6 и 9. Стороны 6 см и 9 см. Проверка: 2(6 + 9) = 30 см, 6·9 = 54 см².

Формально дискриминант D = (P/2)² − 4S. При D < 0 прямоугольника нет; при D = 0 возможен квадрат; при D > 0 возможны две перестановки размеров, но одна геометрическая пара длин. При P > 0 и S > 0 найденные корни должны быть строго положительными. Условие максимальной площади: S ≤ (P/4)².

Если условие дано в метрах и квадратных метрах, не переносите числа в сантиметры без пересчёта: 1 м = 100 см, но 1 м² = 10 000 см². Это разные типы величин.

Уровень A — прямые вычисления

В задачах 1–8 укажите две длины сторон. Ответ без проверки обеих формул считается неполным.

1. P = 26 см, S = 36 см². Найдите стороны прямоугольника.
2. P = 34 м, S = 60 м². Найдите стороны прямоугольника.
3. P = 28 см, S = 49 см². Найдите стороны прямоугольника.
4. P = 28 дм, S = 48 дм². Найдите стороны прямоугольника.
5. P = 26 см, S = 30 см². Найдите стороны прямоугольника.
6. P = 32 м, S = 28 м². Найдите стороны прямоугольника.
7. P = 34 см, S = 66 см². Найдите стороны прямоугольника.
8. P = 40 м, S = 91 м². Найдите стороны прямоугольника.

Уровень B — работа с ограничениями

Сначала выясните, существует ли фигура с такими данными; если существует, дайте обе стороны. Во всех задачах размерные величины выражены в указанных единицах.

1. P = 38 см, S = 60 см². Найдите стороны и тип фигуры.
2. P = 36 см, S = 81 см². Найдите стороны и тип фигуры.
3. P = 52 м, S = 144 м². Найдите стороны и тип фигуры.
4. P = 20 дм, S = 16 дм². Найдите стороны и тип фигуры.
5. P = 48 см, S = 144 см². Найдите стороны и тип фигуры.
6. P = 18 см, S = 20 см². Найдите стороны и тип фигуры.

Уровень C — ловушки, модели и доказательства

1. При P = 24 см заявлена S = 40 см². Проверьте, возможно ли это; максимальная площадь при таком периметре должна быть доказана.
2. При P = 32 м и S = 64 м² найдите стороны. Почему это особый случай?
3. При P = 20 см заявлена площадь 30 см². Докажите отсутствие решения, не строя таблицу размеров.
4. Для прямоугольника известно P = 17 дм и S = 15 дм². Найдите стороны с точностью до 0,1 дм.
5. Площадь прямоугольника 85 м², а длина ограды по всему контуру — 44 м. Определите размеры участка.
6. Периметр равен 38 см, площадь — 78 см². Каковы размеры? Выполните проверку.
7. При P = 10 см и S = 0 см² ученик получил стороны 0 см и 5 см. Можно ли считать такую фигуру прямоугольником с положительными сторонами?
8. Участок имеет P = 44 м и S = 105 м². Назовите обе стороны и объясните, почему перестановка чисел не даёт второго по форме ответа.

Ключ и критерии оценивания

Уровень A — решения 1–8

1. a + b = 13 см; ab = 36 см²; D = 13² − 4·36 = 25. Стороны 4 см и 9 см. Проверка: 2·(9+4) = 26 см; 9·4 = 36 см².
2. a + b = 17 м; ab = 60 м²; D = 17² − 4·60 = 49. Стороны 5 м и 12 м. Проверка: 2·(12+5) = 34 м; 12·5 = 60 м².
3. a + b = 14 см; ab = 49 см²; D = 14² − 4·49 = 0. Стороны 7 см и 7 см. Проверка: 2·(7+7) = 28 см; 7·7 = 49 см².
4. a + b = 14 дм; ab = 48 дм²; D = 14² − 4·48 = 4. Стороны 6 дм и 8 дм. Проверка: 2·(6+8) = 28 дм; 6·8 = 48 дм².
5. a + b = 13 см; ab = 30 см²; D = 13² − 4·30 = 49. Стороны 3 см и 10 см. Проверка: 2·(10+3) = 26 см; 10·3 = 30 см².
6. a + b = 16 м; ab = 28 м²; D = 16² − 4·28 = 144. Стороны 2 м и 14 м. Проверка: 2·(14+2) = 32 м; 14·2 = 28 м².
7. a + b = 17 см; ab = 66 см²; D = 17² − 4·66 = 25. Стороны 6 см и 11 см. Проверка: 2·(11+6) = 34 см; 11·6 = 66 см².
8. a + b = 20 м; ab = 91 м²; D = 20² − 4·91 = 36. Стороны 7 м и 13 м. Проверка: 2·(13+7) = 40 м; 13·7 = 91 м².

Уровень B — решения 9–14

1. a + b = 19 см, D = 121; стороны 4 и 15 см. Проверка: P = 2·(15+4) = 38 см; S = 15·4 = 60 см². Это прямоугольник с неравными сторонами.
2. a + b = 18 см, D = 0; стороны 9 и 9 см. Проверка: P = 2·(9+9) = 36 см; S = 9·9 = 81 см². Это квадрат: корень двойной.
3. a + b = 26 м, D = 100; стороны 8 и 18 м. Проверка: P = 2·(18+8) = 52 м; S = 18·8 = 144 м². Это прямоугольник с неравными сторонами.
4. a + b = 10 дм, D = 36; стороны 2 и 8 дм. Проверка: P = 2·(8+2) = 20 дм; S = 8·2 = 16 дм². Это прямоугольник с неравными сторонами.
5. a + b = 24 см, D = 0; стороны 12 и 12 см. Проверка: P = 2·(12+12) = 48 см; S = 12·12 = 144 см². Это квадрат: корень двойной.
6. a + b = 9 см, D = 1; стороны 4 и 5 см. Проверка: P = 2·(4+5) = 18 см; S = 4·5 = 20 см². Это прямоугольник с неравными сторонами.

Уровень C — решения 15–22

1. Нет. P/4 = 6 см, максимальная S = 6² = 36 см²; заявлено 40 см². D = 12² − 4·40 = −16.
2. 8 м и 8 м. Сумма 16 м, произведение 64 м²; D = 16² − 256 = 0, значит квадрат; P = 32 м.
3. Нет: полупериметр 10 см, предельная площадь (10/2)² = 25 см²; 30 см² больше. D = 100 − 120 = −20.
4. Полупериметр 8,5 дм, D = 8,5² − 60 = 12,25; √D = 3,5. Корни (8,5 ± 3,5)/2 = 2,5 и 6 дм. Контроль: P = 17 дм, S = 15 дм².
5. Сумма сторон 22 м, произведение 85 м², D = 22² − 340 = 144; стороны (22 ± 12)/2 = 5 м и 17 м. Контроль: 44 м, 85 м².
6. Сумма 19 см, произведение 78 см²; D = 361 − 312 = 49. Стороны (19 ± 7)/2: 6 и 13 см. Проверка: 2·19 = 38 см, 6·13 = 78 см².
7. Нет. Отрезок 0 см × 5 см — вырожденный случай, у настоящего прямоугольника обе стороны строго положительны. Не засчитывайте его как допустимый.
8. Полупериметр 22 м, D = 484 − 420 = 64. Стороны (22 ± 8)/2 = 7 м и 15 м. Одна и та же пара длин независимо от того, какую назвать длиной.

Проверка на смысл

В каждом допустимом ответе сложение двух сторон даёт половину периметра, а произведение — площадь. Если получен отрицательный корень, нулевая сторона или площадь выше максимальной при данном периметре, ответ нужно отвергнуть, а не округлять. Для единичного прямоугольника на рисунке смена порядка a и b означает лишь поворот, но не другое множество размеров.

Самопроверка: 1 балл за верную модель, 1 за правильные корни с единицами и 1 за контроль исходных P и S. За доказательство невозможности в заданиях 15, 17, 21 начисляется 2 балла при содержательном объяснении. Особо оценивайте ясную запись ограничений a > 0 и b > 0.