Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника: примеры и объяснения для 8 класса

Исследовательская карточка, 8 класс. Цель — не просто вычесть число из 180°, а заметить, обосновать и проверить закон суммы противоположных углов. Работа с дугами даёт объяснение того, почему правило выполняется для любого выпуклого вписанного четырёхугольника.

Наблюдение: от чисел к гипотезе

Вычислите две суммы в каждой строке прежде, чем смотреть объяснение. Гипотеза: сумма величин каждой пары противоположных углов не зависит от размеров и очертаний четырёхугольника и всегда равна 180°. Проверка на трёх картинках не заменяет теорему — для доказательства нужен общий аргумент.

Почему правило работает: доказательство через дуги

Пусть A, B, C, D — четыре различные точки окружности, и они расположены по порядку. Угол BAD опирается на дугу BD, не содержащую A, а угол BCD — на другую дугу BD, не содержащую C. Эти две дуги составляют всю окружность, то есть 360°. Каждый вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 360°/2 = 180°. Аналогично для ∠ABC и ∠ADC. Это доказательство, а не предположение по чертежу.

Обратное утверждение. Если выпуклый четырёхугольник имеет сумму противоположных внутренних углов 180°, то все четыре его вершины лежат на одной окружности. В отличие от прямой теоремы, здесь вписанность выводят из условия, а не принимают заранее.

Почему нельзя просто переписать число 180°

На незнакомом чертеже легко перепутать угол и дугу: вписанный угол — это угол между двумя хордами с вершиной на окружности; центральный имеет вершину в её центре. Для вписанного угла градусная мера вдвое меньше меры той дуги, которая не содержит его вершину. Например, если угол BAD опирается на дугу BD в 128°, то ∠BAD=64°; угол BCD опирается на вторую дугу в 232° и равен 116°. Сумма получена не потому, что рисунок похож на прямоугольник, а потому, что 128°+232°=360°. Поэтому равенство сохраняется и при очень неравных соседних сторонах.

Следите за порядком букв. В стандартном обозначении ABCD противоположны A и C, B и D; при перестановке вершин без оговорок «противоположность» можно определить неверно. Запишите на черновике последовательность A→B→C→D→A и отметьте две пары. Если вместо вписанного дан описанный около окружности четырёхугольник, он не обязательно имеет суммы противоположных углов по 180°. Не путайте эти два разных определения.

Как применяется обратный признак

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник и ∠A + ∠C = 180°. Тогда по обратному признаку вписанного четырёхугольника через все четыре вершины можно провести окружность. Это отдельная теорема, а не простое переименование исходного равенства: она позволяет перейти от известной суммы углов к существованию общей окружности. Не распространяйте вывод на самопересекающиеся фигуры и не заменяйте условие про противоположные углы условием про соседние. Если A + C = 179°, использовать обратный признак нельзя даже тогда, когда рисунок очень похож на вписанный.

Работа исследователя

1. Сформулировать гипотезу

1. Наблюдение: выпишите суммы пар ∠A + ∠C, ∠B + ∠D для наборов (68°,112°,91°,89°) и (120°,60°,37°,143°), где числа даны в порядке A,C,B,D.
2. Для набора A = 84°, C = 96°, B = 101°, D = 79° сформулируйте две проверяемые закономерности.
3. В четырёхугольнике ABCD углы A и C опираются на две дуги BD. Одна дуга равна 146°. Какова вторая дуга и чему равны A и C, если угол A опирается на дугу 146°?
4. Почему доказательство через дуги даёт ровно 180°, даже если четырехугольник сильно вытянут?

2. Проверить границы применимости

5. Дан выпуклый четырёхугольник: A = 62°, C = 118°, B = 74°, D = 106°. Достаточно ли этих данных, чтобы заключить, что через его вершины можно провести окружность?
6. Могут ли в одном вписанном четырёхугольнике одновременно быть два противоположных прямых угла? Если да, какие они?
7. Проверьте заявление: «В каждом прямоугольнике суммы противоположных углов равны 180°». Верно ли обратное для произвольного выпуклого четырехугольника?
8. Если противоположные углы записаны как 2t + 20° и 4t − 8°, найдите t; какой факт об их сумме проверяет ответ?
9. Можно ли получить вписанный выпуклый четырёхугольник с A = 25°, C = 145°? Поясните.

3. Применить и доказать

10. Докажите: если B = 3D, то сумма противоположных углов делает один из них равным четверти развёрнутого угла.
11. Для углов A = 135°, C = 45°, B = 63°, D = 117° проверьте обе суммы. Достаточна ли только одна из них для выпуклого четырёхугольника с суммой углов 360°?
12. Как меняются две дуги BD, если вершину A переместить по окружности, не меняя B,C,D и порядок A,B,C,D?
13. Согласны ли вы: «Если суммы двух противоположных углов дают 180°, то другие два тоже дают 180°» — при каких условиях это верно?
14. Выпуклый четырёхугольник имеет A + C = 180°, B = 2D + 15°. Найдите B и D; сделайте вывод о вписанности.
15. Объясните, почему нельзя пользоваться «суммой противоположных углов» для самопересекающегося четырёхугольника без уточнения определения.

Подробные разборы и выводы

1. 180° и 180° в каждом наборе. 68+112=180, 91+89=180; 120+60=180, 37+143=180.
2. A + C = 180° и B + D = 180°. 84+96=180; 101+79=180. Это наблюдение, не доказательство.
3. Вторая дуга 214°; A = 73°, C = 107°. Полная окружность 360°, вписанный угол вдвое меньше соответствующей дуги.
4. Потому что две дуги вместе — 360°. Углы равны половинам дуг: (дуга 1 + дуга 2)/2 = 180°; форма чертежа не влияет.
5. Да, для выпуклого четырёхугольника достаточно. Справедлив обратный признак вписанности: сумма противоположных углов 180°.
6. Да, A = C = 90° или B = D = 90°. Тогда в соответствующей паре 90+90=180; другая пара тоже обязана давать 180°.
7. Прямое утверждение верно, обратное неверно. Вписанная трапеция с неравными углами может иметь противоположные суммы 180°, но не быть прямоугольником.
8. t = 28. 2t+20+4t−8=180, 6t=168; получаем 76° и 104°, сумма 180°.
9. Нет. 25°+145°=170°, а требуется 180°. Нельзя менять теорему из-за внешнего вида рисунка.
10. D = 45°, B = 135°. D+3D=180°; четверть 180° — 45°.
11. Обе суммы равны 180°. Для выпуклого четырёхугольника, если A+C=180°, то B+D=360°−180°=180°, поэтому одна сумма достаточна вместе с фактом 360°.
12. Дуги с концами B,D неизменны. При сохранении порядка A находится на той же дуге BD; она не меняется, а значит и суммы углов сохраняются.
13. Верно для любого простого выпуклого четырёхугольника. Его внутренние углы дают 360°, поэтому оставшаяся пара составляет 180°; для вписанности достаточно первого равенства.
14. D = 55°, B = 125°; четырёхугольник вписанный. B+D=180, 3D+15=180, D=55. По обратному признаку A+C=180°.
15. Нужен выпуклый простой контур и обычные внутренние углы. У самопересекающейся фигуры геометрия «внутренних» углов неоднозначна; без условий вывод не применяется.

Итог исследования

Постройте логическую цепочку: вершины на одной окружности → две дополнительные дуги → их сумма 360° → сумма вписанных противоположных углов 180°. Для проверки обратного утверждения сначала удостоверяемся, что фигура выпуклая. Тест на понимание: почему «соседние углы также дополняют друг друга до 180°» не следует из этой теоремы? Потому что соседние углы обычно опираются на не дополняющие друг друга дуги.

Для учителя: упражнения 1–4 проверяют обнаружение закономерности; 5–9 — её условия; 10–15 — доказательное рассуждение. Отдельно оценивайте обоснование, а не только число.