Построение окружности через три заданные точки: задачи и решения для 8 класса

Практический тренажёр с построениями. Для всех заданий нужны линейка без измерения (прямая кромка), циркуль, карандаш, при необходимости клетчатая бумага. Главное действие — построить единственную окружность через три различные неколлинеарные точки. Точки и числовые условия у каждой задачи собственные.

Короткая памятка: строгий алгоритм

1. Соедините A с B и A с C: получилось две стороны треугольника ABC.
2. Постройте серединный перпендикуляр к AB, затем к AC. Для каждого найдите середину и восстановите перпендикуляр через неё.
3. Обозначьте пересечение прямых O. Проверьте, что OA = OB = OC.
4. Поставьте иглу циркуля в O и проведите окружность радиуса OA. Проверьте попадание B и C на дугу.

Важное условие существования: точки A, B, C попарно различны и не лежат на одной прямой. Если они коллинеарны, конечная окружность через все три невозможна. Если точек фактически две (одна совпала), окружностей бесконечно много, единственность пропадает.

Построение серединного перпендикуляра одним циркулем и линейкой

Для отрезка AB установите раствор циркуля больше половины AB. Не меняя раствора, проведите две дуги с центрами в A и B по разные стороны от отрезка. Соедините две точки пересечения дуг: полученная прямая проходит через середину AB и образует с ним прямой угол. Затем тем же способом постройте серединный перпендикуляр к AC. Увеличение радиуса дуг сверх половины AB нужно только для появления двух точек пересечения; их числовое значение в готовой окружности не используется.

После нахождения O аккуратно проверьте три расстояния линейкой: OA, OB, OC должны совпасть в пределах точности чертежа. Не считайте расхождение на 1–2 миллиметра доказательством несуществования окружности: оно может быть следствием толщины линии, смещения иглы или плохой разметки середины. Геометрическое обоснование даёт точное равенство, даже если рисунок выполнен приблизительно.

Серия 1. Построить и объяснить (1–7)

1. Отметьте три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Опишите первый шаг построения окружности через них.
2. Какую прямую нужно построить для отрезка AB, чтобы найти множество равноудалённых от A и B точек?
3. Почему пересечение двух серединных перпендикуляров к AB и AC равноудалено также от B и C?
4. Точки A(0;0), B(8;0), C(0;10). Найдите центр окружности и её радиус (единица — клетка).
5. Точки A(−4;0), B(4;0), C(0;3). Где расположен центр? Определите его координаты.
6. Можно ли провести окружность через три точки (1;2), (3;2), (5;2)?
7. Объясните, почему через три разные неколлинеарные точки проходит ровно одна окружность.

Серия 2. Найти центр на сетке (8–14)

Координатные задачи — проверка построения, а не требование пользоваться аналитической геометрией на каждом уроке. Можно начертить точки на клетчатой бумаге и проверить результат измерением. Если в ответе дробный радиус, не округляйте его без указания.

8. Точки A(−3;−2), B(3;−2), C(0;2). Определите ось, на которой лежит центр, прежде чем его вычислять.
9. В предыдущем задании найдите координаты центра и радиус.
10. В равностороннем треугольнике со стороной 6 см где лежит центр описанной окружности? Найдите радиус.
11. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 см и 8 см опишите расположение центра и вычислите радиус.
12. Почему пересечение медиан произвольного треугольника нельзя без доказательства принимать за центр описанной окружности?
13. Точки A(0;0), B(8;0), C(4;3). Определите центр и радиус окружности.
14. Точки A(0;0), B(10;0), C(2;4). Найдите центр описанной окружности.

Серия 3. Сложные и пограничные случаи (15–21)

15. Укажите ошибку: ученик построил перпендикуляры к AB и AC через точки A и A, а не через середины отрезков.
16. При построении две серединные прямые «не пересеклись» на небольшом листе бумаги. Можно ли заключить, что окружности не существует?
17. Пусть A, B, C — три различные точки с AB = AC и вершиной A над основанием BC. На какой линии лежит центр?
18. Точки A(−2;0), B(2;0), C(0;−2). Постройте центр аналитически.
19. Если две из трёх данных точек совпадают, можно ли по этим данным выбрать единственную окружность?
20. Три вершины правильного треугольника образуют окружность радиуса 4 см. Каково расстояние от центра до каждой вершины?
21. Почему достаточно построить серединные перпендикуляры к двум сторонам, а не к каждой из трёх?

Полные ответы к 21 заданию

1. Соединить A с B и A с C и отметить середины AB и AC; затем построить серединные перпендикуляры к этим отрезкам.
2. Серединный перпендикуляр к AB. Каждая его точка одинаково удалена от A и B.
3. OA = OB и OA = OC, следовательно OB = OC. Значит окружность с центром O проходит через три точки.
4. O(4;5), R = √41 клетки. Это середина гипотенузы BC прямоугольного треугольника; OA = √(4²+5²)=√41.
5. O(0;−7/6). Центр лежит на оси Oy как на серединном перпендикуляре к AB; равенство OA²=OC² даёт 16+y²=(3−y)², y=−7/6.
6. Нет. Все три точки на прямой y=2, а прямая пересекает окружность максимум в двух различных точках.
7. Единственность следует из единственной точки пересечения серединных перпендикуляров к двум непараллельным сторонам треугольника.
8. На оси Oy. Отрезок AB горизонтален и симметричен относительно Oy.
9. O(0;−9/8), R = 25/8 клетки. По равенству расстояний: 9+(y+2)²=(2−y)², значит 8y=−9; радиус OA=√(9+(7/8)²)=25/8.
10. В пересечении серединных перпендикуляров (также медиан). Радиус R = a/√3 = 2√3 см.
11. В середине гипотенузы. Гипотенуза √(6²+8²)=10 см, R=5 см.
12. Медиана не обязана быть перпендикулярна стороне. В неравностороннем треугольнике центр медиан и центр описанной окружности обычно не совпадают.
13. O(4;−7/6), R = 25/6 клетки. OA² = 16+y², OC²=(3−y)², 16+y²=9−6y+y², y=−7/6, R=√(16+49/36)=25/6.
14. O(5;0), R = 5 клеток. По AB получаем x=5; 25+y²=9+(y−4)² даёт y=0. Тогда OA=5.
15. Ошибка в точках прохождения. Перпендикуляры через концы сторон не дают множество равноудалённых точек; нужны прямые через середины.
16. Нет. Серединные перпендикуляры непараллельных сторон пересекаются, но их точка пересечения может лежать далеко за листом; удлините прямые.
17. На серединном перпендикуляре к BC. Он же ось симметрии равнобедренного треугольника; центр может находиться внутри или вне треугольника.
18. O(0;0), R=2 клетки. A и B на расстоянии 2, C на расстоянии 2 от начала координат.
19. Нет. При наличии только двух разных точек существует бесконечно много окружностей через них; центры лежат на их серединном перпендикуляре.
20. 4 см до каждой. Все три вершины лежат на окружности, а расстояния до центра — радиусы.
21. Двух достаточно. Их точка пересечения равноудалена от трёх вершин, поэтому автоматически принадлежит и третьему серединному перпендикуляру.

Доказательство корректности построения

Серединный перпендикуляр к AB состоит из всех точек X, для которых XA=XB. Аналогично серединный перпендикуляр к AC состоит из всех точек с XA=XC. Точка O пересечения одновременно обладает обоими свойствами, значит OA=OB=OC. Это и есть определение центра искомой окружности. Стороны AB и AC непараллельны, поэтому их серединные перпендикуляры тоже непараллельны и имеют одно пересечение. Так доказывается единственность.

Подсказка учителю: задания 4, 9, 13–14 предназначены для дополнительного уровня; ученику, ещё не изучавшему координаты, можно дать только геометрическое построение. Не используйте на глаз «центр треугольника» вместо пересечения серединных перпендикуляров.