Применение свойств диаметров и хорд к чертежу: примеры и объяснения для 8 класса

Комплексная проверочная, 8 класс. Здесь соединяются два факта: диаметр — хорда через центр, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Иногда помогает теорема Фалеса: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Для каждой задачи мысленно нарисуйте небольшую схему с собственными обозначениями.

Базовый уровень: читать чертёж и выделять нужное свойство

Задания 1–8

1. Окружность O имеет диаметр AB = 18 см. Найдите радиус и длины OA, OB.
2. Диаметр MN проходит через середину K хорды CD и перпендикулярен ей. Если CK = 6 см, чему равна CD?
3. В окружности радиуса 10 см хорда PQ длиной 20 см. Какая особая хорда получилась и где её середина?
4. Окружность имеет диаметр AC. На окружности отмечена точка B, отличная от A и C. Чему равен ∠ABC?
5. В предыдущей ситуации ∠BAC = 32°. Найдите ∠BCA.
6. На окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Сколько градусов ∠AOC?
7. В той же конфигурации чему равны хорды AC и AD при радиусе 5 см? Допустимо оставить корень.
8. Хорда EF перпендикулярна диаметру GH в точке K. Если EK = 9 мм, найдите EF.

Повышенный уровень: несколько свойств в одном чертеже

В задачах 9–16 могут потребоваться теорема Пифагора, сравнение длин хорд и проверка существования геометрической конфигурации. Сначала проверьте, что условие совместимо с рисунком, и только затем вычисляйте числа.

9. При радиусе 41 см хорда длиной 80 см пересекается с перпендикулярным ей диаметром в M. Найдите OM.
10. Пусть прямая диаметра проходит через один конец хорды AB и середину AB одновременно. Что можно заключить о хорде AB?
11. На окружности AB — диаметр, C — третья точка. Если AC = 21 см, BC = 28 см, найдите AB и радиус.
12. В окружности R = 10 см хорды AB и CD равны по 12 см. Как сравнить расстояния от O до прямых AB и CD?
13. Две хорды длиной 14 см и 18 см лежат в одной окружности радиуса 10 см. Какая ближе к центру?
14. На рисунке диаметр KL перпендикулярен хорде MN; KN — сторона треугольника KNO. Можно ли из одной перпендикулярности утверждать, что KN = KM? Объясните.
15. Диаметр AB пересекает хорду CD под прямым углом в E. Если CE = 4 см, DE = 6 см, возможен ли такой чертёж?
16. В окружности радиуса 8 см диаметр PQ проходит через середину хорды RS длины 8√3 см. Найдите расстояние от центра до хорды.

Итог: объяснить и обосновать

17. В прямоугольном треугольнике ABC (∠B=90°) с AC = 26 см найдите радиус окружности, проходящей через A,B,C.
18. Ученик написал: «Всякая хорда, проходящая через центр, есть диаметр». Верно ли это? Что нужно уточнить про концы?
19. Окружность O: диаметр AB = 58 см, хорда CD = 42 см. Диаметр через O перпендикулярен CD в M. Найдите CM и OM, затем проверьте равенство OC²=OM²+CM².
20. Окружность O: AB — диаметр 10 см, C — точка окружности. Известно ∠CAB = 41°. Найдите ∠ACB и ∠CBA.

Критерии самостоятельной проверки

• За каждый правильный численный ответ с единицами и основанием — 2 балла; если нужна только логическая оценка, 2 балла за полный аргумент.
• За обоснованное указание невозможности конструкции (например, неравные половины хорды) — 2 балла.
• Если вместо всего диаметра записан радиус, а вычисления верны, засчитывается не более 1 балла.
• Всего 20 заданий, максимум 40 баллов. При 34–40 баллах навык освоен, 26–33 — повторите комбинированные схемы, ниже 26 — начните с первых восьми.

Решения и проверка

1. Радиус 9 см; OA=OB=9 см. Диаметр равен двум радиусам.
2. CD=12 см. Перпендикуляр через центр делит хорду пополам, CD=2·CK.
3. PQ — диаметр, середина O. Наибольшая возможная хорда имеет длину 2R.
4. 90°. Угол, опирающийся на диаметр, прямой (теорема Фалеса).
5. 58°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90°: 90−32=58.
6. 90°. Перпендикулярные диаметры задают прямой центральный угол.
7. AC=AD=5√2 см. Оба — гипотенузы прямоугольных равнобедренных треугольников с катетами 5 см.
8. 18 мм. Перпендикулярный к хорде диаметр делит её пополам; EF=2·9.
9. 9 см. Половина хорды 40 см, OM=√(41²−40²)=9.
10. AB — диаметр. Поскольку прямая через центр и середину хорды проходит через один её конец A, то она содержит и второй конец B; значит O, A, B лежат на одной прямой.
11. AB=35 см, R=17,5 см. По теореме Фалеса ∠ACB=90°; AB=√(21²+28²)=35.
12. Равны. Равные хорды одной окружности равноудалены от центра (обе имеют одинаковую половину 6 см).
13. Хорда 18 см. Более длинная хорда одной окружности ближе к центру; это следует из d²=R²−(L/2)².
14. Да, KN=KM. Диаметр KL проходит через центр и перпендикулярен MN, значит служит её серединным перпендикуляром. Любая точка на этой прямой, включая K, равноудалена от M и N.
15. Невозможен. Перпендикулярный диаметр делит хорду пополам, поэтому CE=DE.
16. 4 см. Половина хорды 4√3 см, d=√(64−48)=4.
17. 13 см. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы AC.
18. Верно для хорды с концами на окружности. Хорда, проходящая через центр, соединяет противоположные точки окружности и является диаметром.
19. CM=21 см, OM=20 см. R=29; 29²=20²+21²=400+441=841.
20. ∠ACB=90°, ∠CBA=49°. Угол напротив диаметра прямой, 180−90−41=49.

Как оформлять рассуждение на чертеже

Неверно ограничиваться фразой «это видно по рисунку». Пишите: «AB — диаметр, поэтому AB=2R»; «OM перпендикулярен хорде CD и проходит через центр, значит CM=MD»; «угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому ∠ACB=90°». И только после этого подставляйте числовые данные.

Проверка единиц: радиус, диаметр, хорда и расстояние — длины (мм или см), величина угла выражается в градусах. Если в одном условии используются мм и см, сначала приводите их к одной единице. Полученную хорду сравните с диаметром: она не должна быть длиннее 2R.