Проверка коллинеарности трёх точек по наклонам: задачи и решения для 9 класса

Задачи с таблицей. Наклон прямой между разными точками A и B равен k = (yB − yA)/(xB − xA), когда знаменатель не нуль. Три точки коллинеарны, если все лежат на одной прямой; наклоны удобно сравнивать для лучей из одной вершины.

Опорная схема и два пограничных случая

Надёжная проверка без деления и исключений: D = (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA). Условие коллинеарности: D = 0. Если D ≠ 0, точки неколлинеарны. Это равенство работает и для вертикальных, и для повторяющихся точек.

Разобранный пример: совпадение наклонов

A(−1; 2), B(1; 6), C(3; 10). Наклон AB = (6 − 2)/(1 − (−1)) = 4/2 = 2. Наклон AC = (10 − 2)/(3 − (−1)) = 8/4 = 2. Следовательно, все точки лежат на одной прямой. Дополнительно D = 2·8 − 4·4 = 0.

Сравнивать наклоны AB и BC тоже можно, если отрезки ненулевые и не возникает деления на нуль. Однако метод AB/AC с общим началом чаще позволяет быстрее обнаружить ошибку в знаках.

Таблица исходных данных — задания 1–18

Для каждого номера ответьте «да» или «нет» и обоснуйте результат наклонами. Для вертикальной прямой используйте равенство абсцисс, а при совпадающих точках объясните почему деление на нуль недопустимо.

Ответы с проверкой наклонов

1. Наклон AB: 1; наклон AC: 1. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
2. Наклон AB: 1/2; наклон AC: 1/2. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
3. Наклон AB: вертикаль, угловой коэффициент не существует; наклон AC: вертикаль, угловой коэффициент не существует. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
4. Наклон AB: 1; наклон AC: 7/6. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 3. Нет, точки не лежат на одной прямой.
5. Наклон AB: 1/2; наклон AC: 1/2. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
6. Наклон AB: 0; наклон AC: 0. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
7. Наклон AB: 2; наклон AC: 2. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
8. Наклон AB: вертикаль, угловой коэффициент не существует; наклон AC: 7. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 5. Нет, точки не лежат на одной прямой.
9. Наклон AB: -2/3; наклон AC: -2/3. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
10. Наклон AB: 2; наклон AC: 7/4. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = -3. Нет, точки не лежат на одной прямой.
11. Наклон AB: 3/2; наклон AC: 3/2. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
12. Наклон AB: не определён: точки совпадают; наклон AC: 3. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны. Совпадающие точки не задают единственного наклона, но не нарушают коллинеарность.
13. Наклон AB: -1; наклон AC: -1. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
14. Наклон AB: 2; наклон AC: 11/6. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = -3. Нет, точки не лежат на одной прямой.
15. Наклон AB: -1; наклон AC: -1. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
16. Наклон AB: не определён: точки совпадают; наклон AC: не определён: точки совпадают. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны. Совпадающие точки не задают единственного наклона, но не нарушают коллинеарность.
17. Наклон AB: -1/2; наклон AC: -1/2. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = 0. Да, точки коллинеарны.
18. Наклон AB: 1/2; наклон AC: 4/9. Проверка без деления: (xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA) = -3. Нет, точки не лежат на одной прямой.

Где чаще всего ошибаются

1. Делят на ноль. Для A(2; 1), B(2; 5) коэффициент kAB не существует: это не означает, что отрезка нет или что три точки не могут лежать на одной вертикали.

2. Сравнивают разные отношения. Если для AB берут Δy/Δx, а для AC случайно Δx/Δy, равенство становится бессмысленным. Выбирайте одну и ту же формулу.

3. Не замечают повторяющиеся точки. Если A = B, выражение 0/0 не означает наклон 0. При A = B и третьей точке C все три коллинеарны: существует прямая, содержащая обе различные позиции.

В геометрии часто предполагают, что «три точки» различны; в этой карточке совпадение специально включено как диагностический случай. Если требуется единственность прямой, проверяйте, что даны хотя бы две разные точки.

Итоговая самопроверка

Сначала определите особые случаи, затем вычисляйте наклоны. Если получены дроби 2/4 и 3/6, сравните их после сокращения: это одно и то же число 1/2. Для более надёжного контроля всегда можно умножить крест-накрест, то есть проверить D = 0. Упражнения считаются полностью выполненными только с объяснением, а не с одним словом «да» или «нет».