Уравнение медианы треугольника в координатах для 9 класса — упражнения с разбором

Проверочная работа с разбором, 9 класс. Требуется найти уравнение прямой, содержащей медиану, а не длину медианы. Вершина указывается отдельно: её нельзя перепутать с концом стороны, к которой медиана проведена.

Базовая формула середины и главный алгоритм

Если B(x₂; y₂) и C(x₃; y₃), то середина BC имеет координаты M((x₂ + x₃)/2; (y₂ + y₃)/2). Медиана из A — отрезок AM. Чтобы записать уравнение прямой AM, используйте формулу прямой через две точки. Если xA = xM, прямая вертикальна; это допустимо и не требует деления на xM − xA.

Пример: A(0; 4), B(−2; 0), C(4; 0). Середина BC: M(1; 0). Прямая через (0; 4) и (1; 0) имеет уравнение 4x + y − 4 = 0. Проверка: для A значение 0 + 4 − 4 = 0, для M — 4 + 0 − 4 = 0.

Уровень I — медиана из A

На черновике обязательно отметьте сначала середину BC. Затем отдельно найдите уравнение AM. Запись одной лишь середины — неполный ответ.

1. Треугольник A(0; 4), B(-2; 0), C(4; 0). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
2. Треугольник A(1; 1), B(-3; 5), C(5; 3). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
3. Треугольник A(-2; -3), B(4; 1), C(2; 7). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
4. Треугольник A(2; 5), B(0; 0), C(6; 2). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
5. Треугольник A(-4; 2), B(2; 0), C(6; 4). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
6. Треугольник A(1; -5), B(-3; 1), C(5; 5). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
7. Треугольник A(3; 2), B(-5; -2), C(1; 6). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
8. Треугольник A(2; -1), B(-4; 4), C(8; 2). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
9. Треугольник A(0; 6), B(4; 0), C(-2; -2). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
10. Треугольник A(-2; 3), B(6; -1), C(2; 5). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________

Уровень II — медиана из другой вершины

Для медианы из B берите середину AC; для медианы из C — середину AB. Не подставляйте автоматически координаты B и C в формулу середины, если исходная вершина не A.

11. Треугольник A(1; 4), B(6; 2), C(-2; -4). Найдите уравнение медианы из вершины B. Укажите середину противоположной стороны. __________
12. Треугольник A(-3; 1), B(5; 6), C(1; -2). Найдите уравнение медианы из вершины B. Укажите середину противоположной стороны. __________
13. Треугольник A(0; -2), B(4; 3), C(-4; 5). Найдите уравнение медианы из вершины B. Укажите середину противоположной стороны. __________
14. Треугольник A(6; 0), B(0; 7), C(-2; 1). Найдите уравнение медианы из вершины C. Укажите середину противоположной стороны. __________
15. Треугольник A(-4; -1), B(2; 6), C(6; -4). Найдите уравнение медианы из вершины C. Укажите середину противоположной стороны. __________
16. Треугольник A(1; 0), B(3; 7), C(8; 1). Найдите уравнение медианы из вершины C. Укажите середину противоположной стороны. __________

Уровень III — задания с особыми прямыми

Проверьте, не окажется ли медиана горизонтальной или вертикальной. Ни один из предложенных наборов не образует вырожденного треугольника, поэтому медиана определена однозначно.

17. Треугольник A(2; -2), B(6; -2), C(1; 5). Найдите уравнение медианы из вершины A. Укажите середину противоположной стороны. __________
18. Треугольник A(4; 1), B(-2; 5), C(5; 7). Найдите уравнение медианы из вершины B. Укажите середину противоположной стороны. __________

Ключ ответов с проверками

1. Середина противоположной стороны M(1; 0); медиана — прямая 4x + y − 4 = 0. Проверка: вершина A(0; 4) и M(1; 0) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(0, 4) и середине (1, 0) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
2. Середина противоположной стороны M(1; 4); медиана — прямая x − 1 = 0. Проверка: вершина A(1; 1) и M(1; 4) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(1, 1) и середине (1, 4) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
3. Середина противоположной стороны M(3; 4); медиана — прямая 7x − 5y − 1 = 0. Проверка: вершина A(-2; -3) и M(3; 4) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(-2, -3) и середине (3, 4) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
4. Середина противоположной стороны M(3; 1); медиана — прямая 4x + y − 13 = 0. Проверка: вершина A(2; 5) и M(3; 1) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(2, 5) и середине (3, 1) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
5. Середина противоположной стороны M(4; 2); медиана — прямая y − 2 = 0. Проверка: вершина A(-4; 2) и M(4; 2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(-4, 2) и середине (4, 2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
6. Середина противоположной стороны M(1; 3); медиана — прямая x − 1 = 0. Проверка: вершина A(1; -5) и M(1; 3) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(1, -5) и середине (1, 3) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
7. Середина противоположной стороны M(-2; 2); медиана — прямая y − 2 = 0. Проверка: вершина A(3; 2) и M(-2; 2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(3, 2) и середине (-2, 2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
8. Середина противоположной стороны M(2; 3); медиана — прямая x − 2 = 0. Проверка: вершина A(2; -1) и M(2; 3) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(2, -1) и середине (2, 3) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
9. Середина противоположной стороны M(1; -1); медиана — прямая 7x + y − 6 = 0. Проверка: вершина A(0; 6) и M(1; -1) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(0, 6) и середине (1, -1) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
10. Середина противоположной стороны M(4; 2); медиана — прямая x + 6y − 16 = 0. Проверка: вершина A(-2; 3) и M(4; 2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(-2, 3) и середине (4, 2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
11. Середина противоположной стороны M(-1/2; 0); медиана — прямая 4x − 13y + 2 = 0. Проверка: вершина B(6; 2) и M(-1/2; 0) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при B(6, 2) и середине (-1/2, 0) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
12. Середина противоположной стороны M(-1; -1/2); медиана — прямая 13x − 12y + 7 = 0. Проверка: вершина B(5; 6) и M(-1; -1/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при B(5, 6) и середине (-1, -1/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
13. Середина противоположной стороны M(-2; 3/2); медиана — прямая x − 4y + 8 = 0. Проверка: вершина B(4; 3) и M(-2; 3/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при B(4, 3) и середине (-2, 3/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
14. Середина противоположной стороны M(3; 7/2); медиана — прямая x − 2y + 4 = 0. Проверка: вершина C(-2; 1) и M(3; 7/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при C(-2, 1) и середине (3, 7/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
15. Середина противоположной стороны M(-1; 5/2); медиана — прямая 13x + 14y − 22 = 0. Проверка: вершина C(6; -4) и M(-1; 5/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при C(6, -4) и середине (-1, 5/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
16. Середина противоположной стороны M(2; 7/2); медиана — прямая 5x + 12y − 52 = 0. Проверка: вершина C(8; 1) и M(2; 7/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при C(8, 1) и середине (2, 7/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
17. Середина противоположной стороны M(7/2; 3/2); медиана — прямая 7x − 3y − 20 = 0. Проверка: вершина A(2; -2) и M(7/2; 3/2) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при A(2, -2) и середине (7/2, 3/2) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.
18. Середина противоположной стороны M(9/2; 4); медиана — прямая 2x + 13y − 61 = 0. Проверка: вершина B(-2; 5) и M(9/2; 4) удовлетворяют этому уравнению; M получена полусуммой координат двух других вершин. Числовая проверка: при B(-2, 5) и середине (9/2, 4) левая часть равенства равна 0 в обоих случаях.

Критерии оценки

Максимум — 36 баллов. Результат 33–36 показывает уверенное владение алгоритмом, 27–32 — мелкие ошибки в арифметике, 20–26 — следует повторить середину и вертикальные прямые, меньше 20 — полезно разобрать образец и заново выполнить первый уровень.

Уравнение описывает всю прямую, а медианой треугольника называют только отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Это различие важно: две точки определяют прямую, но длина самого отрезка ограничена концами A и M.

Для контроля проверьте, что середина противоположной стороны находится на самой стороне (среднее двух координат лежит между ними), а уравнение проходит через вершину и найденную середину. Если проверка не проходит, повторите вычисление коэффициентов.