Геометрическое место точек равноудалённых от двух точек: примеры и объяснения для 9 класса

Что предстоит установить

Геометрическое место точек — все точки, удовлетворяющие заданному условию, и только они. Если A и B — различные точки, то множество точек P, для которых PA = PB, есть серединный перпендикуляр к отрезку AB. Это не только одна точка и не окружность. При A = B условие выполняется для любой точки плоскости.

Доказательство через расстояния: PA² = (x − a₁)² + (y − a₂)², PB² = (x − b₁)² + (y − b₂)². После сокращения квадратов получается уравнение прямой. Возведение в квадрат допустимо, потому что оба расстояния неотрицательны; посторонних точек не возникает.

Печатный рабочий лист: вариант А

Выполните задания 1–8. Записывайте не только конечную прямую, но и объяснение, почему она перпендикулярна AB и проходит через середину AB. Место для вычислений: ____________________________

1. Даны A(0; 0), B(6; 0). Найдите уравнение всех точек, равноудалённых от A и B.
2. Даны A(1; 1), B(1; 7). Постройте искомую прямую и запишите уравнение.
3. Даны A(−2; 0), B(2; 0). Укажите ось, совпадающую с геометрическим местом.
4. Даны A(0; −3), B(0; 5). Найдите координату каждой точки серединного перпендикуляра, которая остаётся постоянной.
5. Даны A(0; 0), B(4; 4). Получите уравнение без построения.
6. Даны A(2; 0), B(0; 2). Проверьте, подходит ли точка (3; 3).
7. Даны A(−1; 1), B(3; 1). Верно ли, что (1; −8) равноудалена от A и B?
8. Даны A(2; −2), B(6; 2). Проверьте точку (0; 4) и найдите уравнение прямой.

Поле для графика: отметьте точки A и B, проведите AB, найдите середину и постройте перпендикуляр. _____________________________________

Печатный рабочий лист: вариант Б

Решите задания 9–16 без подглядывания в ответы. Во всех задачах координатная единица одна и та же по обеим осям.

9. Для A(−4; 2), B(2; 2) укажите уравнение искомого множества.
10. Для A(3; −5), B(3; 1) определите, проходит ли искомая прямая через начало координат.
11. Для A(−2; −2), B(2; 2) запишите уравнение множества точек и проверьте (5; −5).
12. Для A(0; 4), B(8; 0) получите уравнение через равенство квадратов расстояний.
13. Пусть A(2; 3), B(2; 3). Каково геометрическое место и почему обычная формулировка о серединном перпендикуляре неприменима?
14. Для A(−3; 0), B(1; 4) найдите уравнение серединного перпендикуляра.
15. Для A(1; −1), B(5; 3) решите, принадлежит ли P(0; 4) искомому множеству.
16. Для A(−2; 5), B(4; −1) найдите множество равноудалённых точек и одну точку на нём.

Ключ с доказательствами

1. 1. x = 3. Середина (3; 0), AB горизонтален, серединный перпендикуляр вертикален.
2. 2. y = 4. Середина (1; 4), прямая горизонтальна.
3. 3. x = 0, то есть ось Oy.
4. 4. y = 1. Среднее арифметическое −3 и 5 равно 1.
5. 5. x + y = 4: (x² + y²) = (x−4)² + (y−4)² ⇒ 8x + 8y = 32.
6. 6. y = x; (3; 3) подходит, так как оба расстояния равны √10.
7. 7. x = 1; точка (1; −8) подходит, у обеих исходных точек вертикальная разность равна −9, горизонтальная по модулю равна 2.
8. 8. x + y = 4; (0; 4) подходит. Середина исходного отрезка (4; 0).
9. 9. x = −1 — абсцисса середины отрезка.
10. 10. y = −2, поэтому начало координат не подходит.
11. 11. x + y = 0; (5; −5) подходит.
12. 12. Уравнение 2x − y = 6: (x²+(y−4)²) = (x−8)²+y² ⇒ 16x − 8y = 48.
13. 13. Вся плоскость: A = B, значит PA = PB автоматически для любого P.
14. 14. x + y = 1: середина (−1; 2), наклон AB равен 1, серединный перпендикуляр имеет наклон −1.
15. 15. x + y = 4, но 0 + 4 = 4, следовательно P подходит.
16. 16. x − y = −1: середина (1; 2), наклон AB равен −1; например, (0; 1) подходит, так как 0 − 1 = −1.

Критерии оценки (16 баллов)

По 1 баллу за каждое верное геометрическое место, включающее верное уравнение и ответ на дополнительный вопрос. Если есть верный ход рассуждения, но арифметическая ошибка, учитель может поставить 0,5 балла. 14–16 — высокий уровень; 11–13 — уверенный; 8–10 — требуется повторение; менее 8 — повторите правило и работу с серединой отрезка.

Самопроверка: прямая обязана проходить через середину AB, а её направляющий вектор должен быть перпендикулярен вектору AB. При A = B не делите на нулевую длину отрезка.