Угол между двумя секущими из внешней точки окружности — рабочий лист для 9 класса

Основная схема — из одной внешней точки выходят две секущие

Точка P находится вне окружности. На первом луче из P расположены A (ближнее пересечение) и B (дальнее); на втором — C (ближнее) и D (дальнее). Для соответствующих дуг, не содержащих другие перечисленные точки, угол между секущими равен половине разности дальней дуги BD и ближней дуги AC: ∠APC = (дуга BD − дуга AC)/2. Дуги и угол измеряются в градусах. Данная в условии большая дуга должна превышать малую; иначе перепроверьте выбор дуг.

Формула следует из теоремы о внешнем угле треугольника и теоремы о вписанном угле: внешнее угловое измерение получается разностью двух вписанных углов, каждый равен половине соответствующей дуги. Важное отличие от пересекающихся внутри хорд — здесь именно вычитание, а не сложение.

Три полностью разобранных примера

1. Пример 1. Дуга BD = 160°, дуга AC = 64°. Тогда 160° − 64° = 96°, а угол равен 48°. Сначала найдена разность, затем половина.
2. Пример 2. Внешний угол 47°, ближняя дуга AC = 40°. Удвоим угол: 94°. Дальняя дуга BD = 94° + 40° = 134°. Проверка: (134° − 40°)/2 = 47°.
3. Пример 3. Дуга BD = 190°, внешний угол = 56°. Разность дуг 112°, поэтому дуга AC = 190° − 112° = 78°. Проверка даёт 56°.

Почему нужны именно четыре пересечения

У луча PAB два общих положения с окружностью: A ближе к внешней точке P, B дальше от неё. На втором луче аналогично PCD. Если поменять A и B местами только в одном луче, формула перестанет описывать выбранный угол. На чертеже полезно нарисовать оба луча, поставить сначала P, затем на каждом луче отметить близкую и дальнюю точки. Это позволяет выбрать дугу между дальними концами B, D и дугу между ближними A, C без догадок по внешнему виду.

Важное замечание о рисунке: две дуги в задаче не должны пересекаться и в совокупности занимать более полного оборота 360°. Точные размеры нарисованных окружностей не нужны: теорема зависит только от градусов дуг. Внешний угол в этой конфигурации меньше 180°. Наши числовые условия этому не противоречат.

Сверка двух способов вычисления

В первом разобранном примере можно обозначить искомый угол через α. Тогда 2α = 160° − 64° = 96°, откуда α = 48°. Можно, наоборот, сказать, что угол 48° соответствует разности дуг 96°: удвоить найденное значение и проверить исходную разность. Если обе стороны не совпали, где-то потерян множитель 2.

В обратной задаче неизвестная дальняя дуга D выражается равенством D − N = 2α, где N — ближняя дуга. Значит, D = 2α + N. При неизвестной ближней дуге N = D − 2α. Формулы полезно получать из одной базовой теоремы, а не запоминать как три разных правила.

Серия А — вычислите внешний угол

1. Дальняя дуга BD = 150°, ближняя дуга AC = 70°. Найдите ∠APC.
2. Дальняя дуга BD = 180°, ближняя дуга AC = 40°. Найдите ∠APC.
3. Дальняя дуга BD = 135°, ближняя дуга AC = 55°. Найдите ∠APC.
4. Дальняя дуга BD = 200°, ближняя дуга AC = 80°. Найдите ∠APC.
5. Дальняя дуга BD = 170°, ближняя дуга AC = 50°. Найдите ∠APC.
6. Дальняя дуга BD = 240°, ближняя дуга AC = 60°. Найдите ∠APC.

Серия Б — восстановите дальнюю дугу

Подсказка к заданиям 7–11: дальняя дуга = 2·внешний угол + ближняя дуга.

7. Угол при P равен 35°, ближняя дуга AC = 50°. Найдите дугу BD.
8. Угол при P равен 55°, ближняя дуга AC = 44°. Найдите дугу BD.
9. Угол при P равен 40°, ближняя дуга AC = 85°. Найдите дугу BD.
10. Угол при P равен 72°, ближняя дуга AC = 32°. Найдите дугу BD.
11. Угол при P равен 26°, ближняя дуга AC = 68°. Найдите дугу BD.

Серия В — восстановите ближнюю дугу и проверьте данные

Подсказка: ближняя дуга = дальняя дуга − 2·угол. Ответ обязан быть неотрицательным; для невырожденной схемы берите положительные дуги.

12. Дуга BD = 180°, угол при P равен 65°. Найдите дугу AC.
13. Дуга BD = 210°, угол при P равен 75°. Найдите дугу AC.
14. Дуга BD = 140°, угол при P равен 45°. Найдите дугу AC.

Задание 15 — объяснение вместо числа

15. Ученик вычислил (80° − 140°)/2 = −30° и объявил результатом «отрицательный угол». Что именно перепутано и как найти угол по двум указанным величинам, если большая дуга равна 140°, а меньшая 80°?

Разбор проверок на типичные ловушки

Задание 6. Дуги равны 240° и 60°. Их разность 180°, а искомый угол 90°: он может быть прямым, хотя дуги здесь неодинаковые. Не следует автоматически считать внешний угол острым. Впрочем, конкретные геометрические конфигурации должны согласовываться с положением хорд и лучей.

Задание 10. Угол 72°, ближняя дуга 32°. Сперва удваиваем угол: 144°. Прибавляем 32°, получаем дальнюю дугу 176°. Ошибочно вычесть ближнюю дугу: тогда обратная проверка не сойдётся.

Задание 12. Дальняя дуга 180°, угол 65°. Разность дуг должна быть 130°, поэтому ближняя дуга 50°. Если вы получили 115°, значит вы вычитали один угол вместо удвоенного.

Ключ и решения по шагам

1. 1. (150° − 70°)/2 = 40°.
2. 2. (180° − 40°)/2 = 70°.
3. 3. (135° − 55°)/2 = 40°.
4. 4. (200° − 80°)/2 = 60°.
5. 5. (170° − 50°)/2 = 60°.
6. 6. (240° − 60°)/2 = 90°.
7. 7. 2·35° + 50° = 120°; при подстановке угол вновь 35°.
8. 8. 2·55° + 44° = 154°; при подстановке угол вновь 55°.
9. 9. 2·40° + 85° = 165°; при подстановке угол вновь 40°.
10. 10. 2·72° + 32° = 176°; при подстановке угол вновь 72°.
11. 11. 2·26° + 68° = 120°; при подстановке угол вновь 26°.
12. 12. 180° − 2·65° = 50°; разность дуг 130°.
13. 13. 210° − 2·75° = 60°; разность дуг 150°.
14. 14. 140° − 2·45° = 50°; разность дуг 90°.
15. 15. Не бывает отрицательного обычного угла. Перепутаны большая и малая дуги: (140° − 80°)/2 = 30°.

Короткая проверка ответов

Пересчитайте задания 2, 7 и 14 обратным действием: для задания 2 получите 180 − 40 = 140, разделите на два и сравните с ответом 70°; для задания 7 из найденной дальней дуги вычтите 50°; для задания 14 удостоверьтесь, что удвоенный угол действительно равен разности известных дуг. Так можно поймать арифметическую ошибку ещё до консультации учителя.

Как избежать ошибок при чтении схемы

Сначала подпишите «ближнее» и «дальнее» пересечения на каждом луче. Не складывайте дуги, как в задаче про хорды с внутренним пересечением. Если требуется неизвестная дуга, умножьте угол на 2 до переноса известного слагаемого. Если сумма выбранных неперекрывающихся дуг больше 360°, рисунок или исходные условия противоречивы. В заданиях все величины заданы в градусах — перевод единиц не нужен.