Показательные уравнения с разными основаниями через логарифм: задачи и решения для 10 класса

Уравнения вида A·a^(ux+v) = B·b^(wx+z), где a,b,A,B положительны, решаются логарифмированием обеих положительных частей. Прежде чем делить на коэффициент при x, выясни, не равен ли он нулю. Логарифм — допустимый инструмент только для положительного аргумента, здесь положительность гарантирована основанием и множителем.

Алгоритм на одном примере

2^(x+1) = 5^x. Делим на 2^x > 0: 2 = (5/2)^x. Так как 5/2 > 0 и 5/2 ≠ 1, получаем x = ln 2 / ln(5/2). Проверка: (5/2)^x=2, поэтому 5^x = 2^(x+1) точно. Приближённое десятичное значение не требуется — точный ответ в логарифмах лучше.

Шесть неверных рассуждений: найди сбой и исправь

1. Из 2^x = 7^x сделано заключение x = ln 7 / ln 2.
2. В 2^(x+1) = 3^x записали x+1 = x, «сократив основания».
3. Уравнение 4^x = 5^(x−1) превратили в x ln 4 = (x+1) ln 5.
4. Из (1/2)^x = 3^x заключили, что «нет корней из-за разных оснований».
5. В 3^(x+2) = 2^x написали ln(3^(x+2)) = ln 3·ln(x+2).
6. Из 2^x=2^x сделали вывод x=0.

Исправленные решения и объяснения

1. При делении получаем (2/7)^x=1, откуда x=0. Значение ln7/ln2 решает другое уравнение 2^x=7.
2. Показатели можно приравнивать лишь при общем основании, отличном от 1. Правильно (3/2)^x=2; x=ln2/ln(3/2).
3. В правой части именно (x−1)ln5. Поэтому x ln(4/5)=−ln5 и x=ln5/ln(5/4).
4. У обеих положительных степеней значение 1 при x=0; (1/6)^x=1 даёт x=0.
5. Используем ln(a^t)=t ln a, а не произведение двух логарифмов. (x+2)ln3=xln2; x=−2ln3/ln(3/2).
6. Это тождество верно при любом действительном x; после логарифмирования получим 0=0, а не единственное решение.

Восемь задач без готового ответа перед глазами

При решении каждой задачи покажи переход к отношению оснований, затем запись логарифма. При желании проверь численно, но в ответе оставь точную формулу.

1. 2^x = 5^x
2. 2^(x+1) = 3^x
3. 4^x = 7^(x−1)
4. 5^(2x−1) = 3^x
5. (1/2)^x = 3^(x−2)
6. 7^(x+1) = 2^(2x)
7. (1/3)^(x−1) = 2^x
8. 9^x = 5^(x+2)

Разбор ключа: проверка каждого преобразования

Ограничения: все исходные основания в карточке строго положительны и отличны от 1; логарифмы определены, так как их аргументы положительны. В решениях деления на ноль нет: каждое указанное отношение оснований положительно и не равно 1. Если при решении похожей задачи получилось (a/b)^x=1 с a=b, это тождество, а не основание делить на ln 1=0.

Итог проверки: за 6 ошибок объясни не только правильный ответ, но и неверный переход; за каждую из 8 задач оставь точный ответ и один верный шаг. Содержательная ошибка — приравнивать показатели при разных основаниях; арифметическая — потерять знак при переносе логарифма.

Почему преобразования равносильны

Функция натурального логарифма строго возрастает на положительной полуоси. Поэтому для положительных чисел U(x) и V(x) равенство U(x)=V(x) равносильно ln U(x)=ln V(x). Показатели степеней могут быть отрицательными: число a^t остаётся положительным при любом действительном t и a>0.

В самом общем случае A·a^(ux+v)=B·b^(wx+z) после логарифмирования выходит ln A+(ux+v)ln a=ln B+(wx+z)ln b. Тогда x·(u ln a−w ln b)=ln B−ln A+z ln b−v ln a. Если коэффициент при x не равен нулю, делим на него. Если равен нулю, исходное равенство либо выполняется для всех x, либо не имеет решений — это зависит от правой постоянной.

Отдельно проверь влияние знаков в задаче 6: основание 7/4 больше единицы, а правая часть 1/7 меньше единицы, значит искомый показатель обязан быть отрицательным. Это полезная качественная проверка без калькулятора. В задаче 5 основание 6 больше единицы, правая часть 9 больше единицы, следовательно корень положительный.

Не округляй десятичные приближения раньше времени: подстановка приближённого x обычно даёт лишь приближённое равенство. Выражение ln 9/ln 6 — точное значение, которое можно сохранять до конца. В тексте решений мы не подменяем доказательство равенства графическим пересечением или подбором.