Сравнение скорости изменения двух функций по касательным — проверочная работа, 11 класс

Быстрая диагностика

Касательная показывает мгновенную скорость изменения функции: её угловой коэффициент k = Δy/Δx равен производной в точке касания. Положительный k означает рост, отрицательный — убывание, k = 0 — горизонтальную касательную. В задачах прямые касательные заданы двумя точками на каждой касательной, а не двумя точками исходного графика.

1. Точка (2; 1) и (4; 7) лежат на касательной. Чему равен наклон? Проверка: (7 − 1)/(4 − 2) = 3.
2. Если f′ = −4, а g′ = 2, какая функция быстрее убывает? Проверка: f убывает, а g растёт; по модулю |−4| > |2|.
3. Два наклона +2 и −2 равны ли как числа? Проверка: нет; равны только их модули.

10 самостоятельных заданий

В каждом пункте вычислите оба коэффициента по координатам точек. Нельзя сравнивать только разности y: делите их на соответствующие Δx. Все касательные не вертикальны.

1. Касательная к f проходит через (0; 2) и (2; 8), а касательная к g — через (1; 3) и (4; 9). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
2. Касательная к f проходит через (0; 4) и (3; -2), а касательная к g — через (2; 0) и (6; 4). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
3. Касательная к f проходит через (1; 5) и (5; 5), а касательная к g — через (0; 0) и (2; -6). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
4. Касательная к f проходит через (0; 1) и (4; 9), а касательная к g — через (3; -2) и (5; 2). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
5. Касательная к f проходит через (-1; 0) и (1; -5), а касательная к g — через (0; 6) и (4; -2). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
6. Касательная к f проходит через (0; 0) и (3; 2), а касательная к g — через (5; 7) и (8; 4). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
7. Касательная к f проходит через (1; 3) и (4; 0), а касательная к g — через (0; -2) и (3; 1). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
8. Касательная к f проходит через (-2; 2) и (2; 8), а касательная к g — через (0; 5) и (3; 8). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
9. Касательная к f проходит через (0; 0) и (5; -2), а касательная к g — через (1; -1) и (3; -4). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.
10. Касательная к f проходит через (1; 8) и (3; 7), а касательная к g — через (-1; -1) и (1; -2). Сравните f′ и g′ и модули скоростей изменения.

Лист самопроверки

Три частые ошибки

1. Сравнили только изменение по вертикали. Например, подъём на 6 при ходе 2 даёт наклон 3, а подъём на 8 при ходе 4 — наклон 2.
2. Отрицательный наклон посчитали «самым быстрым ростом». Число −5 меньше +1, хотя по модулю оно больше: первая функция быстрее убывает.
3. Подменили производную средним наклоном графика. Две данные точки в условии лежат на самой касательной; если бы они были точками произвольного графика, это была бы скорость изменения на интервале, не обязательно производная.

Оценивание: 1 балл за оба наклона и 1 балл за верное сравнение в каждом пункте. Максимум — 20 баллов. Если наклоны равны, указание «равны» обязательно; сравнение модулей не заменяет сравнение знаков.

Как читать результат, если направления разные

При сравнении по касательным важно заранее определить, какой вопрос стоит в условии. «У кого больше производная?» — сравнение чисел со знаками. «У кого быстрее меняется значение независимо от направления?» — сравнение модулей производных. Функция с наклоном −7 убывает быстрее, чем функция с наклоном −2, однако −7 меньше −2 как число. На графике это видно как более крутой спуск. Если две касательные имеют одинаковый наклон, они могут проходить через разные точки и даже быть параллельными: равенство производных в выбранных точках не означает равенство функций.

Угловой коэффициент можно считать по точкам в обратном порядке, но нужно одновременно изменить знаки числителя и знаменателя: (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = (y₁−y₂)/(x₁−x₂). При Δx = 0 получилась бы вертикальная прямая, у которой конечный угловой коэффициент не определён; в наших заданиях таких касательных нет. Если оси имеют физические единицы, производная измеряется единицами по вертикали на одну единицу по горизонтали, например километрами в час.