Проверка правдоподобия эскиза функции по производной: примеры и объяснения для 11 класса
Содержание статьи8 разделов
Как проверить эскиз, не зная формулу функции
Эскиз — рисунок возможного графика. Его можно оценить по знакам производной, не восстанавливая саму функцию: f′ > 0 означает возрастание, f′ < 0 — убывание. Точка f′ = 0 не обязана быть экстремумом. Если производная известна, вертикальный сдвиг графика не меняет её; поэтому абсолютные значения f(x) без дополнительных условий восстановить нельзя.
Рабочий алгоритм: найти нули f′; разбить ось ими на промежутки; проверить знаки; сопоставить с заявленным ходом графика. При записи экстремума проверяйте перемену знака, а не только нуль производной.
Вариант А — печатный рабочий лист
Для каждого эскиза впишите «верно» или «неверно», укажите интервалы знаков производной и поясните вывод. Место для записи решения: _________________________________.
| № | Исходные данные | Описание эскиза | Оценка и обоснование |
|---|---|---|---|
| А1 | f′(x) = 2x | На эскизе минимум в x = 0. | ________________ |
| А2 | f′(x) = −4x | На эскизе максимум в x = 0. | ________________ |
| А3 | f′(x) = x² + 1 | На эскизе минимум в x = 0. | ________________ |
| А4 | f′(x) = 4 − x² | На эскизе максимум в x = 2. | ________________ |
| А5 | f′(x) = (x − 1)² | На эскизе максимум в x = 1. | ________________ |
| А6 | f′(x) = x(x − 4) | На эскизе минимум в x = 4. | ________________ |
| А7 | f′(x) = −3 | На эскизе функция везде возрастает. | ________________ |
| А8 | f′(x) = 3x² | На эскизе горизонтальная касательная при x = 0, но функция возрастает и слева, и справа. | ________________ |
Вариант Б — печатный рабочий лист
Для каждого эскиза впишите «верно» или «неверно», укажите интервалы знаков производной и поясните вывод. Место для записи решения: _________________________________.
| № | Исходные данные | Описание эскиза | Оценка и обоснование |
|---|---|---|---|
| Б1 | f′(x) = 1 − x² | На эскизе минимум в x = −1. | ________________ |
| Б2 | f′(x) = (x + 2)(x − 2) | На эскизе максимум в x = 2. | ________________ |
| Б3 | f′(x) = −(x − 3)² | На эскизе минимум в x = 3. | ________________ |
| Б4 | f′(x) = 5 | На эскизе функция убывает между x = 0 и x = 2. | ________________ |
| Б5 | f′(x) = −x(x + 2) | На эскизе минимум в x = −2. | ________________ |
| Б6 | f′(x) = x² − 9 | На эскизе максимум в x = −3. | ________________ |
| Б7 | f′(x) = 2(x − 1) | На эскизе максимум в x = 1. | ________________ |
| Б8 | f′(x) = −(x + 4) | На эскизе максимум в x = −4. | ________________ |
Ключ с пояснениями
Вариант А
- А1. Верно. Слева от нуля f′ отрицательна, справа положительна: убывание сменяется возрастанием.
- А2. Верно. Производная меняет знак с плюса на минус.
- А3. Неверно. Производная строго положительна при всех x: функция везде возрастает.
- А4. Верно. На (−2; 2) производная положительна, при x > 2 отрицательна.
- А5. Неверно. Слева и справа от 1 функция возрастает, в самой точке касательная горизонтальна.
- А6. Верно. В интервале (0; 4) знак минус, после 4 — плюс.
- А7. Неверно. Наклон отрицателен при каждом x; функция строго убывает.
- А8. Верно. Производная неотрицательна и обращается в нуль только в 0; экстремума нет.
Вариант Б
- Б1. Верно. Производная при переходе через −1 меняет знак с минуса на плюс.
- Б2. Неверно. Знак меняется с минуса на плюс: при 2 минимум; при −2 максимум.
- Б3. Неверно. Функция убывает с обеих сторон; в 3 горизонтальная касательная без экстремума.
- Б4. Неверно. Производная положительна везде.
- Б5. Верно. Знак f′ меняется с минуса на плюс при −2.
- Б6. Верно. До −3 f′ положительна, после −3 отрицательна.
- Б7. Неверно. Это минимум: производная с минуса переходит в плюс.
- Б8. Верно. f′ положительна слева и отрицательна справа от −4.
Как выставить отметку
В каждом варианте 8 заданий: за каждый правильный вердикт — 1 балл, за верное обоснование знаком производной — ещё 1 балл; всего 16 баллов. 14–16 — «5», 11–13 — «4», 8–10 — «3», 0–7 — требуется повторение. Ошибочно считать любую горизонтальную касательную экстремумом. Для построения полного графика по одной производной нужна также исходная точка, например f(0).
Разбор двух ловушек перед проверкой
Сравним варианты А5 и А8. В обоих случаях производная в особой точке равна нулю, поэтому там горизонтальная касательная. Однако знак производной по обе стороны не меняется. Значит, нет локального максимума или минимума. Это важное различие между стационарной точкой и точкой экстремума: условия f′(a)=0 одного недостаточно.
Совсем иначе устроены А4 и Б1. Для f′(x)=4−x² полезно поставить рядом три промежутка: x<−2 — «минус», −2<x<2 — «плюс», x>2 — «минус». График сначала спускается, затем поднимается, затем снова спускается. В точках −2 и 2 соответственно минимум и максимум. При f′(x)=1−x² такие промежутки устроены похожим образом, но критические точки находятся в −1 и 1. Нельзя переносить найденные координаты экстремумов из одного задания в другое: сначала надо найти собственные нули производной.
Справедлив и обратный вопрос: если два рисунка имеют одинаковые промежутки возрастания и убывания, обязательно ли они изображают одну и ту же функцию? Нет. Производная определяет ход графика с точностью до вертикального сдвига, если сама производная полностью задана на промежутке; таблица одних её знаков определяет ещё меньше. Поэтому рабочий лист проверяет только совместимость описания с производной, а не точное положение всей кривой относительно осей.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.